《2025年新课程能力培养七年级数学上册人教版》

23. (本小题 12 分)
已知,在∠AOB 内部作射线 OC,OD 平分∠BOC,∠AOD+∠COD= 120°.
(1)如图 1,求∠AOB 的度数.
(2)如图 2,在∠AOB 的外部和∠BOD 的内部分别作射线 OE,OF,已知∠COD= 2∠BOF+∠BOE,求证:OF 平分∠DOE.
(3)如图 3,在(2)的条件下,在∠COD 内部作射线 OM,当∠BOM= 4∠COM,∠BOE= $\frac{11}{10}$∠AOC 时,求∠MOF 的度数.

答案： （1）解：
∵OD平分∠BOC，
∴∠BOD=∠COD.
∵∠AOD+∠COD=120°，
∴∠AOD+∠BOD=120°，即∠AOB=120°.
（2）证明：
∵OD平分∠BOC，
∴∠BOD=∠COD.
∵∠COD=2∠BOF+∠BOE，
∴∠BOD=2∠BOF+∠BOE，
∴∠DOF=∠BOD-∠BOF=2∠BOF+∠BOE-∠BOF=∠BOF+∠BOE=∠EOF，
∴OF平分∠DOE.
（3）解：设∠AOC=10α，则∠BOE=11α，
∵∠AOB=120°，
∴∠BOC=∠AOB-∠AOC=120°-10α.
∵OD平分∠BOC，
∴∠COD=∠BOD=$\frac{1}{2}$∠BOC=60°-5α.
∵∠BOM=4∠COM，
∴∠COM=$\frac{1}{5}$∠BOC=$\frac{1}{5}$(120°-10α)=24°-2α，
∴∠DOM=∠COD-∠COM=(60°-5α)-(24°-2α)=36°-3α，
∴∠DOE=∠BOD+∠BOE=(60°-5α)+11α=60°+6α.
∵OF平分∠DOE，
∴∠DOF=$\frac{1}{2}$∠DOE=$\frac{1}{2}$(60°+6α)=30°+3α，
∴∠MOF=∠DOM+∠DOF=(36°-3α)+(30°+3α)=66°.