《2025年新课程能力培养七年级数学上册人教版》

22. (本小题 12 分)
将一个正方体的表面涂上颜色.如图,把正方体的棱 2 等分,然后沿等分线把正方体切开,能够得到 8 个小正方体,通过观察我们可以发现 8 个小正方体全是 3 个面涂有颜色的.
如果把正方体的棱 3 等分,然后沿等分线把正方体切开,能够得到 27 个小正方体,通过观察我们可以发现这些小正方体中有 8 个是 3 个面涂有颜色的,有 12 个是 2 个面涂有颜色的,有 6 个是 1 个面涂有颜色的,还有 1 个各个面都没有涂色.

(1)如果把正方体的棱 4 等分,所得小正方体表面涂色情况如何呢?把正方体的棱 n 等分呢?(请填写下表)
|棱等分数|4 等分|n 等分|
|3 面涂色的正方体|8个|8个|
|2 面涂色的正方体|24个|12(n - 2)个|
|1 面涂色的正方体|24个|6(n - 2)²个|
|各个面都无涂色的正方体|8个|(n - 2)³个|
(2)请直接写出将棱 7 等分时只有一个面涂色的小正方体的个数.
150

答案： 解：（1）3面涂色：8，8；2面涂色：24，12(n - 2)；1面涂色：24，6(n - 2)²；各个面均不涂色：8，(n - 2)³.（2）当n=7时，6(n - 2)²=6×(7 - 2)²=150，
∴1面涂色的小正方体有150个.