《2025年新课程能力培养七年级数学上册人教版》

19. (本小题 8 分)
如图,点 C 在线段 AB 的延长线上,AC= $\frac{5}{3}$BC,点 D 在 AB 的反向延长线上,BD= $\frac{3}{5}$DC.
(1)设线段 AB 长为 x,请用含 x 的代数式表示 BC 和 AD 的长.
(2)设 AB= 16 cm,求线段 CD 的长.

答案： 解：（1）AC=AB+BC，
∵AC=$\frac{5}{3}$BC，AB=x，
∴$\frac{5}{3}$BC=x+BC，
∴BC=$\frac{3}{2}$x.
∵BD=$\frac{3}{5}$DC，CD=BD+BC，
∴2BD=3BC.
∵BD=AD+AB，
∴2（AD+AB）=3BC，即2（AD+x）=$\frac{9}{2}$x，
∴AD=$\frac{5}{4}$x.
（2）
∵AB=x=18cm，
∴CD=AD+AB+BC=$\frac{5}{4}$x+x+$\frac{3}{2}$x=$\frac{15}{4}$x=$\frac{15}{4}$×16=60（cm）.

20. (本小题 8 分)
如图,O 点是学校所在位置,A 村位于学校南偏东 42°方向,B 村位于学校北偏东 25°方向,C 村位于学校北偏西 65°方向,在 B 村和 C 村间的公路 OE(射线)平分∠BOC.
(1)求∠AOE 的度数.
(2)公路 OE 上的车站 D 相对于学校 O 的方位是什么?(以正北、正南方向为基准)

答案：
解：（1）如图所示，
∵A村位于学校南偏东42°方向，
∴∠1=42°，则∠2=48°.
∵C村位于学校北偏西65°方向，
∴∠COM=65°.
∵B村位于学校北偏东25°方向，
∴∠4=25°，
∴∠BOC=90°.
∵OE（射线）平分∠BOC，
∴∠COE=45°，
∴∠EOM=65°-45°=20°，
∴∠AOE=20°+90°+48°=158°.

（2）由（1）可得，∠EOM=20°，则车站D相对于学校O的方位是北偏西20°.

21. (本小题 9 分)
如图,点 C 在线段 AB 上,AC= 12 cm,CB= 8 cm,点 M,N 分别是 AC,BC 的中点.
(1)求线段 MN 的长.
(2)若 C 为线段 AB 上任一点,满足 AC+CB= a cm,其他条件不变,请猜想 MN 的长度,并说明理由.
(3)若点 C 在线段 AB 的延长线上,且满足 AC-BC= b cm,M,N 分别为 AC,BC 的中点,请猜想 MN 的长度,并说明理由.

答案：
解：（1）
∵点M，N分别是AC，BC的中点，AC=12cm，CB=8cm，
∴CM=$\frac{1}{2}$AC=6cm，CN=$\frac{1}{2}$BC=4cm，
∴MN=CM+CN=6+4=10cm，即线段MN的长是10cm.
（2）
∵点M，N分别是AC，BC的中点，AC+CB=acm，
∴CM=$\frac{1}{2}$AC，CN=$\frac{1}{2}$BC，
∴MN=CM+CN=$\frac{1}{2}$AC+$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$（AC+BC）=$\frac{1}{2}$acm，即线段MN的长是$\frac{1}{2}$acm.
（3）如图所示，MN=$\frac{1}{2}$b.

理由如下：
∵点M，N分别是AC，BC的中点，AC - CB=bcm，
∴CM=$\frac{1}{2}$AC，CN=$\frac{1}{2}$BC，
∴MN=CM - CN=$\frac{1}{2}$AC-$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$（AC - BC）=$\frac{1}{2}$bcm，即线段MN的长是$\frac{1}{2}$bcm.