《2025年新课程能力培养七年级数学上册人教版》

22. (本小题12分)
定义：对于数对 $(a,\ b)$,若 $a + b = ab$,则 $(a,\ b)$ 称为 “和积等数对”. 如：因为 $2 + 2 = 2 × 2$,$-3 + \frac{3}{4} = -3 × \frac{3}{4}$,所以 $(2,\ 2)$,$\left(-3,\ \frac{3}{4}\right)$ 都是 “和积等数对”.
(1)下列数对中,是 “和积等数对” 的是______.(填序号)
① $(3,\ 1.5)$；② $\left(\frac{3}{4},\ 1\right)$；③ $\left(-\frac{1}{2},\ \frac{1}{3}\right)$.
(2)若 $(-5,\ x)$ 是 “和积等数对”,求 $x$ 的值.
(3)若 $(m,\ n)$ 是 “和积等数对”,求代数式 $4[mn + m - 2(mn - 3)] - 2(3m^2 - 2n) + 6m^2$ 的值.
(1)①③
(2)$\because (-5,x)$是“和积等数对”，$\therefore -5+x=-5x$，解得$x=\frac{5}{6}$.
(3)$4[mn+m-2(mn-3)]-2(3m^{2}-2n)+6m^{2}=4mn+4m-8(mn-3)-6m^{2}+4n+6m^{2}=4mn+4m-8mn+24-6m^{2}+4n+6m^{2}=-4mn+4m+4n+24$.$\because (m,n)$是“和积等数对”，$\therefore m+n=mn$，$\therefore$原式$=-4mn+4(m+n)+24=-4mn+4mn+24=24$.

答案： （1）①③（2）$\because (-5,x)$是“和积等数对”，$\therefore -5+x=-5x$，解得$x=\frac{5}{6}$.（3）$4[mn+m-2(mn-3)]-2(3m^{2}-2n)+6m^{2}=4mn+4m-8(mn-3)-6m^{2}+4n+6m^{2}=4mn+4m-8mn+24-6m^{2}+4n+6m^{2}=-4mn+4m+4n+24$.$\because (m,n)$是“和积等数对”，$\therefore m+n=mn$，$\therefore$原式$=-4mn+4(m+n)+24=-4mn+4mn+24=24$.

23. (本小题12分)
某服装厂生产一种西装和领带,西装每套定价200元,领带每条定价40元. 厂方在开展促销活动期间,向客户提供两种优惠方案：
方案一：买一套西装送一条领带；
方案二：西装和领带都按定价的 $90\%$ 付款.
现某客户要到该服装厂购买西装20套、领带 $x$ 条 $(x ＞ 20)$.
(1)若该客户按方案一购买,需付款$40x+3200$元(用含 $x$ 的代数式表示)；
若该客户按方案二购买,需付款$36x+3600$元(用含 $x$ 的代数式表示).
(2)若 $x = 30$,通过计算说明此时按哪种方案购买较为合算.
(3)当 $x = 30$ 时,你能给出一种更为省钱的购买方案吗？所需费用为多少？
（2）当$x=30$时，$40x+3200=40×30+3200=4400$. $36x+3600=36×30+3600=4680$. 所以按方案一购买合算.（3）先按照方案一购买20套西装（送20条领带），再按照方案二购买10条领带. 所需费用是$20×200+40(30-20)×0.9=4360$元.

答案： （1）$40x+3\ 200$；$36x+3\ 600$.（2）当$x=30$时，$40x+3\ 200=40×30+3\ 200=4\ 400$. $36x+3\ 600=36×30+3\ 600=4\ 680$. 所以按方案一购买合算.（3）先按照方案一购买20套西装（送20条领带），再按照方案二购买10条领带. 所需费用是$20×200+40(30-20)×0.9=4\ 360$元.