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1. (2024·无锡锡山区期中)如图,两根旗杆间相距12米,某人从点B沿BA走向点A,一段时间后他到达点M,此时他仰望旗杆的顶点C和D,两次视线的夹角为90°,且CM= DM.已知旗杆BD的高为9米,该人的运动速度为1米/秒,则这个人运动到点M所用时间是______秒.
(第1题)
(第1题)
答案：
3 [解析]
∵∠CMD = 90°，
∴∠CMA + ∠DMB = 90°.
又∠CAM = 90°，
∴∠CMA + ∠C = 90°，
∴∠C = ∠DMB.
在Rt△ACM和Rt△BMD中，$\begin{cases} ∠A = ∠B, \\ ∠C = ∠DMB, \\ CM = MD, \end{cases}$
∴Rt△ACM≌Rt△BMD(AAS)，
∴BD = AM = 9米，
∴BM = 12 - 9 = 3(米).
∵该人的运动速度为1米/秒，
∴他到达点M时，运动时间为3÷1 = 3(秒).
∵∠CMD = 90°，
∴∠CMA + ∠DMB = 90°.
又∠CAM = 90°，
∴∠CMA + ∠C = 90°，
∴∠C = ∠DMB.
在Rt△ACM和Rt△BMD中，$\begin{cases} ∠A = ∠B, \\ ∠C = ∠DMB, \\ CM = MD, \end{cases}$
∴Rt△ACM≌Rt△BMD(AAS)，
∴BD = AM = 9米，
∴BM = 12 - 9 = 3(米).
∵该人的运动速度为1米/秒，
∴他到达点M时，运动时间为3÷1 = 3(秒).
例2 (2024·镇江南实学校月考)[问题背景]在四边形ABCD中,AB= AD,∠BAD= 120°,∠B= ∠ADC= 90°,E,F分别是BC,CD上的点,且∠EAF= 60°,试探究图(1)中线段BE,EF,FD之间的数量关系.
[初步探索]小亮同学认为：延长FD到点G,使DG= BE,连接AG,先证明△ABE≌△ADG,再证明△AEF≌△AGF,则可得到BE,EF,FD之间的数量关系是______.
[探索延伸]在四边形ABCD中,如图(2),AB= AD,∠B+∠D= 180°,E,F分别是BC,CD上的点,∠EAF= $\frac{1}{2}$∠BAD,上述结论是否仍然成立？说明理由.
[结论运用]如图(3),在某次军事演习中,舰艇甲在指挥中心(O处)北偏西30°的A处,舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处,并且两舰艇到指挥中心的距离相等,接到行动指令后,舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进,舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进1.5小时后,指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E,F处,且两舰艇之间的夹角(∠EOF)为70°,试求此时两舰艇之间的距离.
解析 [探索延伸]延长FD到点G,使DG= BE,连接AG,证明△ABE≌△ADG和△AEF≌△AGF,得到答案；
[结论运用]连接EF,延长AE,BF交于点C,得到EF= AE+BF,根据距离、速度和时间的关系计算即可.
答案 [初步探索]EF= BE+FD
[探索延伸]结论仍然成立.理由如下：
如图(1),延长FD到点G,使DG= BE,连接AG.
∵∠B+∠ADC= 180°,∠ADG+∠ADC= 180°,
∴∠B= ∠ADG.
在△ABE和△ADG中,$\begin{cases} BE= DG, \\ ∠B= ∠ADG, \\ AB= AD, \end{cases} $
∴△ABE≌△ADG(SAS),
∴AE= AG,∠BAE= ∠DAG.
∵∠EAF= $\frac{1}{2}$∠BAD,
∴∠GAF= ∠DAG+∠DAF= ∠BAE+∠DAF= ∠BAD-∠EAF= ∠EAF,
∴∠EAF= ∠GAF.
在△AEF和△AGF中,$\begin{cases} AE= AG, \\ ∠EAF= ∠GAF, \\ AF= AF, \end{cases} $
∴△AEF≌△AGF(SAS),∴EF= FG,
∴EF= FG= DG+FD= BE+DF.
[结论运用]如图(2),连接EF,延长AE,BF交于点C.
∵∠AOB= 30°+90°+(90°-70°)= 140°,∠EOF= 70°,∴∠EOF= $\frac{1}{2}$∠AOB.
∵OA= OB,∠OAC+∠OBC= (90°-30°)+(70°+50°)= 180°,
∴符合[探索延伸]中的条件,
∴结论EF= AE+BF成立,
即EF= 1.5×(60+80)= 210(海里).
故此时两舰艇之间的距离是210海里.
点拨
本题考查的是全等三角形的判定和性质,掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键,注意要正确作出辅助线.
[初步探索]小亮同学认为：延长FD到点G,使DG= BE,连接AG,先证明△ABE≌△ADG,再证明△AEF≌△AGF,则可得到BE,EF,FD之间的数量关系是______.
[探索延伸]在四边形ABCD中,如图(2),AB= AD,∠B+∠D= 180°,E,F分别是BC,CD上的点,∠EAF= $\frac{1}{2}$∠BAD,上述结论是否仍然成立？说明理由.
[结论运用]如图(3),在某次军事演习中,舰艇甲在指挥中心(O处)北偏西30°的A处,舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处,并且两舰艇到指挥中心的距离相等,接到行动指令后,舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进,舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进1.5小时后,指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E,F处,且两舰艇之间的夹角(∠EOF)为70°,试求此时两舰艇之间的距离.
解析 [探索延伸]延长FD到点G,使DG= BE,连接AG,证明△ABE≌△ADG和△AEF≌△AGF,得到答案；
[结论运用]连接EF,延长AE,BF交于点C,得到EF= AE+BF,根据距离、速度和时间的关系计算即可.
答案 [初步探索]EF= BE+FD
[探索延伸]结论仍然成立.理由如下：
如图(1),延长FD到点G,使DG= BE,连接AG.
∵∠B+∠ADC= 180°,∠ADG+∠ADC= 180°,
∴∠B= ∠ADG.
在△ABE和△ADG中,$\begin{cases} BE= DG, \\ ∠B= ∠ADG, \\ AB= AD, \end{cases} $
∴△ABE≌△ADG(SAS),
∴AE= AG,∠BAE= ∠DAG.
∵∠EAF= $\frac{1}{2}$∠BAD,
∴∠GAF= ∠DAG+∠DAF= ∠BAE+∠DAF= ∠BAD-∠EAF= ∠EAF,
∴∠EAF= ∠GAF.
在△AEF和△AGF中,$\begin{cases} AE= AG, \\ ∠EAF= ∠GAF, \\ AF= AF, \end{cases} $
∴△AEF≌△AGF(SAS),∴EF= FG,
∴EF= FG= DG+FD= BE+DF.
[结论运用]如图(2),连接EF,延长AE,BF交于点C.
∵∠AOB= 30°+90°+(90°-70°)= 140°,∠EOF= 70°,∴∠EOF= $\frac{1}{2}$∠AOB.
∵OA= OB,∠OAC+∠OBC= (90°-30°)+(70°+50°)= 180°,
∴符合[探索延伸]中的条件,
∴结论EF= AE+BF成立,
即EF= 1.5×(60+80)= 210(海里).
故此时两舰艇之间的距离是210海里.
点拨
本题考查的是全等三角形的判定和性质,掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键,注意要正确作出辅助线.
答案：
[初步探索]EF= BE+FD
[探索延伸]结论仍然成立.理由如下：
如图
(1),延长FD到点G,使DG= BE,连接AG.
∵∠B+∠ADC= 180°,∠ADG+∠ADC= 180°,
∴∠B= ∠ADG.
在△ABE和△ADG中,$\begin{cases} BE= DG, \\ ∠B= ∠ADG, \\ AB= AD, \end{cases} $
∴△ABE≌△ADG(SAS),
∴AE= AG,∠BAE= ∠DAG.
∵∠EAF= $\frac{1}{2}$∠BAD,
∴∠GAF= ∠DAG+∠DAF= ∠BAE+∠DAF= ∠BAD-∠EAF= ∠EAF,
∴∠EAF= ∠GAF.
在△AEF和△AGF中,$\begin{cases} AE= AG, \\ ∠EAF= ∠GAF, \\ AF= AF, \end{cases} $
∴△AEF≌△AGF(SAS),
∴EF= FG,
∴EF= FG= DG+FD= BE+DF.
[结论运用]如图
(2),连接EF,延长AE,BF交于点C.
∵∠AOB= 30°+90°+(90°-70°)= 140°,∠EOF= 70°,
∴∠EOF= $\frac{1}{2}$∠AOB.
∵OA= OB,∠OAC+∠OBC= (90°-30°)+(70°+50°)= 180°,
∴符合[探索延伸]中的条件,
∴结论EF= AE+BF成立,
即EF= 1.5×(60+80)= 210(海里).
故此时两舰艇之间的距离是210海里.
[初步探索]EF= BE+FD
[探索延伸]结论仍然成立.理由如下：
如图
(1),延长FD到点G,使DG= BE,连接AG.
∵∠B+∠ADC= 180°,∠ADG+∠ADC= 180°,
∴∠B= ∠ADG.
在△ABE和△ADG中,$\begin{cases} BE= DG, \\ ∠B= ∠ADG, \\ AB= AD, \end{cases} $
∴△ABE≌△ADG(SAS),
∴AE= AG,∠BAE= ∠DAG.
∵∠EAF= $\frac{1}{2}$∠BAD,
∴∠GAF= ∠DAG+∠DAF= ∠BAE+∠DAF= ∠BAD-∠EAF= ∠EAF,
∴∠EAF= ∠GAF.
在△AEF和△AGF中,$\begin{cases} AE= AG, \\ ∠EAF= ∠GAF, \\ AF= AF, \end{cases} $
∴△AEF≌△AGF(SAS),
∴EF= FG,
∴EF= FG= DG+FD= BE+DF.
[结论运用]如图
(2),连接EF,延长AE,BF交于点C.
∵∠AOB= 30°+90°+(90°-70°)= 140°,∠EOF= 70°,
∴∠EOF= $\frac{1}{2}$∠AOB.
∵OA= OB,∠OAC+∠OBC= (90°-30°)+(70°+50°)= 180°,
∴符合[探索延伸]中的条件,
∴结论EF= AE+BF成立,
即EF= 1.5×(60+80)= 210(海里).
故此时两舰艇之间的距离是210海里.
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