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4. (2024·上海浦东新区期中改编)对于实数a,我们规定:用符号$[\sqrt{a}]表示不大于\sqrt{a}$的最大整数,称$[\sqrt{a}]$为a的根整数,例如:$[\sqrt{9}] = 3$,$[\sqrt{10}] = 3$.
如果我们对a连续求根整数,直到结果为1为止.例如：对10连续求根整数2次$[\sqrt{10}] = 3 \to [\sqrt{3}] = 1$,这时候结果为1.
(1)仿照以上方法计算:$[\sqrt{4}] = $______,$[\sqrt{26}] = $______；
(2)若$[\sqrt{x}] = 1$,写出满足题意的x的整数值______；
(3)对100连续求根整数,______次之后结果为1；
(4)只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中,最大的是______.
如果我们对a连续求根整数,直到结果为1为止.例如：对10连续求根整数2次$[\sqrt{10}] = 3 \to [\sqrt{3}] = 1$,这时候结果为1.
(1)仿照以上方法计算:$[\sqrt{4}] = $______,$[\sqrt{26}] = $______；
(2)若$[\sqrt{x}] = 1$,写出满足题意的x的整数值______；
(3)对100连续求根整数,______次之后结果为1；
(4)只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中,最大的是______.
答案：
(1)2 5 [解析]
∵2²=4，5²=25，6²=36，
∴5＜√26＜6，
∴[√4]=[2]=2，[√26]=5.
(2)1或2或3 [解析]
∵1²=1，2²=4，且[√x]=1，
∴x=1或2或3.
(3)3 [解析]第一次：[√100]=10，第二次：[√10]=3，第三次：[√3]=1.
(4)255
(1)2 5 [解析]
∵2²=4，5²=25，6²=36，
∴5＜√26＜6，
∴[√4]=[2]=2，[√26]=5.
(2)1或2或3 [解析]
∵1²=1，2²=4，且[√x]=1，
∴x=1或2或3.
(3)3 [解析]第一次：[√100]=10，第二次：[√10]=3，第三次：[√3]=1.
(4)255
传统文化
例3 公元3世纪,我国古代数学家刘徽就能利用近似公式$\sqrt{a^2 + r} \approx a + \frac{r}{2a}$得到无理数的近似值,其中r取正整数,且a取尽可能大的正整数.例如:把$\sqrt{11}化成\sqrt{3^2 + 2}$,再根据近似公式得出$\sqrt{11} \approx 3 + \frac{2}{3×2} = \frac{10}{3}$,当利用此公式计算$\sqrt{17}$的近似值时,则$\sqrt{17} \approx$______.
解析 根据题意,得$\sqrt{17} = \sqrt{4^2 + 1} \approx 4 + \frac{1}{2×4} = \frac{33}{8}$.
答案 $\frac{33}{8}$
点拨
本题考查了对无理数的估算,熟练掌握近似公式$\sqrt{a^2 + r} \approx a + \frac{r}{2a}$是解题的关键.
例3 公元3世纪,我国古代数学家刘徽就能利用近似公式$\sqrt{a^2 + r} \approx a + \frac{r}{2a}$得到无理数的近似值,其中r取正整数,且a取尽可能大的正整数.例如:把$\sqrt{11}化成\sqrt{3^2 + 2}$,再根据近似公式得出$\sqrt{11} \approx 3 + \frac{2}{3×2} = \frac{10}{3}$,当利用此公式计算$\sqrt{17}$的近似值时,则$\sqrt{17} \approx$______.
解析 根据题意,得$\sqrt{17} = \sqrt{4^2 + 1} \approx 4 + \frac{1}{2×4} = \frac{33}{8}$.
答案 $\frac{33}{8}$
点拨
本题考查了对无理数的估算,熟练掌握近似公式$\sqrt{a^2 + r} \approx a + \frac{r}{2a}$是解题的关键.
答案：
33/8 解析 根据题意，得√17 = √(4² + 1) ≈ 4 + 1/(2×4) = 33/8. 答案 33/8
5. (2024·滁州天长一模)我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式,即三角形的三边长分别为a,b,c,记$p = \frac{a + b + c}{2}$,那么面积$S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}$.若某个三角形的三边长分别为2,3,3,其面积S介于整数n - 1和n之间,则n的值为( ).
A.2
B.3
C.4
D.5
A.2
B.3
C.4
D.5
答案：
B [解析]根据题意，三角形的三边长分别为2，3，3，则p=(2+3+3)/2=4，
∴其面积S=√(4×(4-2)×(4-3)×(4-3))=√8.
∵4＜8＜9，
∴√4＜√8＜√9，
∴2＜√8＜3，
∴n的值为3.故选B.
∴其面积S=√(4×(4-2)×(4-3)×(4-3))=√8.
∵4＜8＜9，
∴√4＜√8＜√9，
∴2＜√8＜3，
∴n的值为3.故选B.
6. (2024·河北廊坊广阳区期末)直田七亩半,忘了长和短.记得立契时,长阔争一半.今问俊明公,此法如何算.意思是有一块面积为7亩半的长方形田,忘了长与宽各是多少.只记得在立契约的时候说过,宽是长的一半.现在请你帮他算出它的长是______步.(一亩= 240平方步)
答案：
60 [解析]设此长方形田的宽为x步，依据题意，可列方程为x·2x=240×7.5，解得x=30(负值舍去)，故长为60步.
7. 《科学》杂志发布了我国成功研制出可编程超导量子计算机“祖冲之”号的相关研究成果.祖冲之是我国南北朝时期杰出的数学家,他是第一个将圆周率$\pi$精确到小数点后第七位的人,他给出$\pi$的两个分数形式:$\frac{22}{7}$(约率)和$\frac{355}{113}$(密率).同时期数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法,其理论依据是设实数x的不足近似值和过剩近似值分别为$\frac{b}{a}和\frac{d}{c}$(即有$\frac{b}{a} ＜ x ＜ \frac{d}{c}$,其中a,b,c,d为正整数),则$\frac{b + d}{a + c}$是x的更为精确的近似值.例如:已知$\frac{157}{50} ＜ \pi ＜ \frac{22}{7}$,则利用一次“调日法”后可得到$\pi的一个更为精确的近似分数为\frac{157 + 22}{50 + 7} = \frac{179}{57} \approx 3.1404 ＜ \pi$,$\frac{179}{57} ＜ \pi ＜ \frac{22}{7}$,可以再次使用“调日法”得到$\pi$的更为精确的近似分数…,现已知$\frac{7}{5} ＜ \sqrt{2} ＜ \frac{3}{2}$,求使用两次“调日法”得到的$\sqrt{2}$的近似分数.
(注:$\sqrt{2} = 1.4142135…$)
(注:$\sqrt{2} = 1.4142135…$)
答案：
第一次使用“调日法”得到的近似分数为(7+3)/(5+2)=10/7.
∵10/7＞√2，
∴7/5＜√2＜10/7.第二次使用“调日法”得到的近似分数为(7+10)/(5+7)=17/12，
∴使用两次“调日法”得到的√2的近似分数是17/12.
∵10/7＞√2，
∴7/5＜√2＜10/7.第二次使用“调日法”得到的近似分数为(7+10)/(5+7)=17/12，
∴使用两次“调日法”得到的√2的近似分数是17/12.
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