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例4 在做物理实验时,小明用一根细线将一个正方体铁块拴住,完全浸入盛满水的圆柱形烧杯中,并用一量筒量得铁块排出的水的体积为64cm^3,小明又将铁块从水中提起,量得烧杯中的水位下降了$\frac{16}{9\pi}$cm.请问烧杯内部的底面半径和铁块的棱长各是多少？
解析 根据正方体、圆柱体积的计算方法进行计算即可.
答案 根据题意可知,正方体的体积为64cm^3,因此棱长为$\sqrt[3]{64} = 4$(cm).
设烧杯内部的底面半径为r cm,
由体积计算公式,得$\pi r^2 × \frac{16}{9\pi} = 64$,
解得r = 6或r = -6(舍去).
故烧杯内部的底面半径为6cm,铁块的棱长为4cm.
点拨
本题考查平方根、立方根,掌握平方根、立方根的定义是正确计算的前提,掌握正方体、圆柱体积的计算方法是正确解答本题的关键.
例4 在做物理实验时,小明用一根细线将一个正方体铁块拴住,完全浸入盛满水的圆柱形烧杯中,并用一量筒量得铁块排出的水的体积为64cm^3,小明又将铁块从水中提起,量得烧杯中的水位下降了$\frac{16}{9\pi}$cm.请问烧杯内部的底面半径和铁块的棱长各是多少？
解析 根据正方体、圆柱体积的计算方法进行计算即可.
答案 根据题意可知,正方体的体积为64cm^3,因此棱长为$\sqrt[3]{64} = 4$(cm).
设烧杯内部的底面半径为r cm,
由体积计算公式,得$\pi r^2 × \frac{16}{9\pi} = 64$,
解得r = 6或r = -6(舍去).
故烧杯内部的底面半径为6cm,铁块的棱长为4cm.
点拨
本题考查平方根、立方根,掌握平方根、立方根的定义是正确计算的前提,掌握正方体、圆柱体积的计算方法是正确解答本题的关键.
答案：
解析 根据正方体、圆柱体积的计算方法进行计算即可. 答案 根据题意可知，正方体的体积为64cm³，因此棱长为³√64=4(cm). 设烧杯内部的底面半径为r cm， 由体积计算公式，得π r² × 16/(9π)=64， 解得r=6或r=-6(舍去). 故烧杯内部的底面半径为6cm，铁块的棱长为4cm.
8. 宇宙飞船离开轨道正常运行时,它的速度要大于第一宇宙速度$v_1$(单位:m/s)且小于第二宇宙速度$v_2$(单位:m/s),其中$v_1的大小满足v_1^2 = gR$,其中g是物理中的一个常数(重力加速度),$g \approx 10m/s^2$,R是地球半径,$R \approx 6400000m$,请你求出$v_1$的近似值______.
答案：
8000 m/s [解析]
∵v₁²=gR，g≈10 m/s²，R≈6400000 m，
∴v₁≈√(10×6400000)=8000(m/s).故v₁的近似值为8000 m/s.
∵v₁²=gR，g≈10 m/s²，R≈6400000 m，
∴v₁≈√(10×6400000)=8000(m/s).故v₁的近似值为8000 m/s.
9. (2025·山西晋中期中改编)某地气象资料表明:当地雷雨持续的时间t(h)可以用公式$3t = \sqrt{\frac{d^3}{100}}$来估计,其中d(km)是雷雨区域的直径.
(1)如果某场雷雨区域的直径是10km,那么这场雷雨大约能持续多长时间？(结果保留根号)
(2)如果这场雷雨持续了20min,那么这场雷雨区域的直径大约是多少？(结果精确到0.1km.参考数据:$\sqrt[3]{100} \approx 4.64$)
(1)如果某场雷雨区域的直径是10km,那么这场雷雨大约能持续多长时间？(结果保留根号)
(2)如果这场雷雨持续了20min,那么这场雷雨区域的直径大约是多少？(结果精确到0.1km.参考数据:$\sqrt[3]{100} \approx 4.64$)
答案：
(1)
∵3t=√(10³/100)=√10，
∴t=√10/3(h).故这场雷雨大约能持续√10/3 h.
(2)
∵20 min=1/3 h，
∴√(d³/100)=1.
∴d=√[3]100≈4.64≈4.6(km).故这场雷雨区域的直径大约是4.6 km.
(1)
∵3t=√(10³/100)=√10，
∴t=√10/3(h).故这场雷雨大约能持续√10/3 h.
(2)
∵20 min=1/3 h，
∴√(d³/100)=1.
∴d=√[3]100≈4.64≈4.6(km).故这场雷雨区域的直径大约是4.6 km.
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