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例1 如图,在△ABC中,∠ACB= 90°,CD⊥AB于点D,若AB= 5 cm,BC= 3 cm,求BD的长.
名师启发 首先根据勾股定理求出直角边AC的长,进而利用三角形的面积公式得出CD的长,再利用勾股定理求出BD的长即可.
方法技巧
利用不同的方法表示同一个平面图形的面积,计算结果始终相等.利用这一原理证明或计算某些数学问题的数学方法称为等积法.利用等积法解题往往比其他思路更清晰,证法更简捷,尤其在勾股定理一章中体现得淋漓尽致.
名师启发 首先根据勾股定理求出直角边AC的长,进而利用三角形的面积公式得出CD的长,再利用勾股定理求出BD的长即可.
方法技巧
利用不同的方法表示同一个平面图形的面积,计算结果始终相等.利用这一原理证明或计算某些数学问题的数学方法称为等积法.利用等积法解题往往比其他思路更清晰,证法更简捷,尤其在勾股定理一章中体现得淋漓尽致.
答案：
由勾股定理,得 $AB^{2}=AC^{2}+BC^{2}$,即 $5^{2}=AC^{2}+3^{2}$,$\therefore AC=4\ cm$.由 $S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AC\cdot BC=\frac{1}{2}AB\cdot CD$,得 $\frac{1}{2}×4×3=\frac{1}{2}×5× CD$,$\therefore CD=\frac{12}{5}\ cm$,$\therefore BD^{2}=BC^{2}-CD^{2}=\frac{81}{25}$,$\therefore BD=\frac{9}{5}\ cm$.
例2 (2025·盐城期中)如图,在四边形ABCD中,∠BAD= ∠BCD= 90°,E,F分别是BD,AC的中点.
(1)求证：EF⊥AC；
(2)当BD= 10,AC= 8时,求EF的长.
名师启发 (1)利用直角三角形斜边中线以及等腰三角形的性质即可解决问题.
(2)在Rt△ECF中,利用勾股定理即可解决问题.
归纳总结
本题考查了勾股定理、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线,解答本题的关键是明确题意,找出所求问题需要的条件.
(1)求证：EF⊥AC；
(2)当BD= 10,AC= 8时,求EF的长.
名师启发 (1)利用直角三角形斜边中线以及等腰三角形的性质即可解决问题.
(2)在Rt△ECF中,利用勾股定理即可解决问题.
归纳总结
本题考查了勾股定理、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线,解答本题的关键是明确题意,找出所求问题需要的条件.
答案：
(1)连接AE,CE,$\because \angle BAD=90^{\circ}$,E为BD中点,$\therefore AE=\frac{1}{2}DB$.$\because \angle DCB=90^{\circ}$,$\therefore CE=\frac{1}{2}DB$,$\therefore AE=CE$.$\because$ F是AC的中点,$\therefore EF\perp AC$.
(2)$\because AC=8$,$BD=10$,E,F分别是边BD,AC的中点,$\therefore AE=CE=5$,$CF=4$.$\because EF\perp AC$,$\therefore EF=\sqrt{CE^{2}-CF^{2}}=\sqrt{5^{2}-4^{2}}=3$.
(1)连接AE,CE,$\because \angle BAD=90^{\circ}$,E为BD中点,$\therefore AE=\frac{1}{2}DB$.$\because \angle DCB=90^{\circ}$,$\therefore CE=\frac{1}{2}DB$,$\therefore AE=CE$.$\because$ F是AC的中点,$\therefore EF\perp AC$.
(2)$\because AC=8$,$BD=10$,E,F分别是边BD,AC的中点,$\therefore AE=CE=5$,$CF=4$.$\because EF\perp AC$,$\therefore EF=\sqrt{CE^{2}-CF^{2}}=\sqrt{5^{2}-4^{2}}=3$.
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