《2025年实验班提优训练八年级数学上册苏科版》

例10 (2025·苏州期中)如图,在△ABC中,AB= AC,D是BC边的中点,连接AD,BM平分∠ABC,交AC于点M,过点M作MN//BC,交AB于点N.
(1)若∠C= 72°,求∠BAD的度数；
(2)求证：NB= NM.

名师启发 (1)先根据等腰三角形三线合一的性质可得AD⊥BC,∠BAD= ∠CAD,根据三角形内角和定理求出∠CAD的度数,即可知∠BAD的度数；
(2)根据角平分线的定义和平行线的性质即可证明NB= NM.
关键提醒
本题考查了等腰三角形及平行线的性质,解题的关键是掌握等腰三角形三线合一的性质.

答案：
(1)
∵AB = AC，D是BC边上的中点，
∴AD⊥BC，∠BAD = ∠CAD，
∴∠ADC = 90°.
∵∠C = 72°，
∴∠CAD = 180° - ∠ADC - ∠C = 180° - 90° - 72° = 18°，
∴∠BAD = 18°.
(2)
∵MN//BC，
∴∠NMB = ∠CBM.
∵BM平分∠ABC，
∴∠NBM = ∠CBM.
∴∠NBM = ∠NMB，
∴NB = NM.

例1 如图,在△ABC中,已知AB= AC,D,E分别是AB,AC的中点,且CD= BE.求证：△ADC≌△AEB.

解答 ∵AB= AC,D,E分别是AB,AC的中点,∴AD= AE.
在△ADC和△AEB中,$\begin{cases} AD= AE, \\ AC= AB, \\ CD= BE, \end{cases} $
∴△ADC≌△AEB(SSS).
辨析归纳
本题考查了全等三角形的判定方法.若已知两边对应相等,则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等,则找一组边对应相等；若已知一边一角,则找另一组角,或找这个角的另一组对应邻边.

答案：
∵AB= AC,D,E分别是AB,AC的中点,
∴AD= AE.
在△ADC和△AEB中,$\begin{cases} AD= AE, \\ AC= AB, \\ CD= BE, \end{cases} $
∴△ADC≌△AEB(SSS).

1. (2024·德州中考)如图,C是AB的中点,且CD= BE,请添加一个条件______,使得△ACD≌△CBE.

(第1题)

答案： AD = CE(答案不唯一)

例2 如图,已知AC,BD交于点E,∠A= ∠B,∠1= ∠2.求证：AE= BE.

解答 易证△ADC≌△BCD,∴AD= BC.
在△ADE和△BCE中,$\begin{cases} ∠AED= ∠BEC, \\ ∠A= ∠B, \\ AD= BC, \end{cases} $
∴△ADE≌△BCE(AAS),∴AE= BE.
辨析归纳
两个三角形全等时,它们同时去掉一个三角形,所得的两个三角形不一定全等,不能将等式的性质盲目地搬到全等三角形中.

答案： 易证△ADC≌△BCD,
∴AD= BC.
在△ADE和△BCE中,$\begin{cases} ∠AED= ∠BEC, \\ ∠A= ∠B, \\ AD= BC, \end{cases} $
∴△ADE≌△BCE(AAS),
∴AE= BE.