《2025年实验班提优训练八年级数学上册苏科版》

易错点1 审题不仔细,受思维定式影响
例1 在△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,且$(a + b)(a - b)= c^2$,则( ).

A.∠A为直角
B.∠C为直角
C.∠B为直角
D.不是直角三角形
解析 ∵$(a + b)(a - b)= c^2$,
∴$a^2 - b^2 = c^2$,即$a^2 = b^2 + c^2$,
∴△ABC是直角三角形,a为△ABC的斜边,∴∠A为直角.
答案 A
辨析归纳
因为常见的直角三角形表示时一般将直角标注为∠C,因而有同学就习惯性地认为∠C就一定表示直角.该题中的条件可转化为$a^2 - b^2 = c^2$,即$a^2 = b^2 + c^2$,根据这一公式进行判断即可.

答案： 解析
∵$(a + b)(a - b)= c^2$,$\therefore a^2 - b^2 = c^2$,即$a^2 = b^2 + c^2$,$\therefore \triangle ABC$是直角三角形,a为$\triangle ABC$的斜边,
∴∠A为直角.答案 A

1. (2025·无锡江阴长泾二中期中)如果一个直角三角形的两边分别是6,8,那么斜边上的中线是( ).

A.4
B.5
C.4或5
D.3或5

答案： C [解析]当一个直角三角形的两直角边分别是6,8时,由勾股定理,得斜边$=\sqrt{6^{2}+8^{2}}=10$,则斜边上的中线$=\frac{1}{2}×10 = 5$;当8是斜边时,斜边上的中线是4.故选C.

2. 给出下列命题：①在直角三角形中,已知两边长为3和4,则第三边长为5；②若三角形的三边a,b,c满足$a^2 + c^2 = b^2$,则∠C= 90°；③在△ABC中,若∠A：∠B：∠C= 1：2：3,则△ABC是直角三角形；④在△ABC中,若a：b：c= 1：$\sqrt{3}$：2,则这个三角形是直角三角形.其中,正确命题的个数为( ).

A.1
B.2
C.3
D.4

答案： B [解析]①在直角三角形中,已知两边长3和4,则第三边长为5或$\sqrt{7}$,故①错误;②若三角形的三边a,b,c满足$a^{2}+c^{2}=b^{2}$,则$\angle B = 90^{\circ}$,故②错误;③在$\triangle ABC$中,若$\angle A:\angle B:\angle C = 1:2:3$,设$\angle A = x$,$\angle B = 2x$,$\angle C = 3x$.$\because \angle A+\angle B+\angle C = 180^{\circ}$,$\therefore x + 2x + 3x = 180^{\circ}$,$\therefore x = 30^{\circ}$,$\therefore \angle A = 30^{\circ}$,$\angle B = 60^{\circ}$,$\angle C = 90^{\circ}$,$\therefore \triangle ABC$是直角三角形,故③正确;④在$\triangle ABC$中,若$a:b:c = 1:\sqrt{3}:2$,设$a = x$,$b=\sqrt{3}x$,$c = 2x$,则$a^{2}+b^{2}=x^{2}+(\sqrt{3}x)^{2}=4x^{2}$,$c^{2}=(2x)^{2}=4x^{2}$,$\therefore a^{2}+b^{2}=c^{2}$,$\therefore \triangle ABC$是直角三角形,故④正确.$\therefore$正确命题的个数为2.故选B.

例2 (2025·苏州工业园区景城学校月考)在△ABC中,AB= 15,AC= 13,BC上的高AD长为12,则△ABC的面积为______.
解析 ①如图(1)所示,AB= 15,AC= 13,AD⊥BC,AD= 12,
在Rt△ABD中,$BD = \sqrt{AB^2 - AD^2} = \sqrt{15^2 - 12^2} = 9$,
在Rt△ACD中,$CD = \sqrt{AC^2 - AD^2} = \sqrt{13^2 - 12^2} = 5$,
∴BC= BD+CD= 9+5= 14,
∴$S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2}BC·AD = \frac{1}{2}×14×12 = 84$；
②如图(2)所示,
在Rt△ABD中,$BD = \sqrt{AB^2 - AD^2} = \sqrt{15^2 - 12^2} = 9$,
在Rt△ACD中,$CD = \sqrt{AC^2 - AD^2} = \sqrt{13^2 - 12^2} = 5$,
∴BC= BD - CD= 9 - 5= 4,
∴$S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2}BC·AD = \frac{1}{2}×4×12 = 24$；
综上所述,△ABC的面积为84或24.
答案 84或24
辨析归纳
本题考查了勾股定理的应用,关键是画出图形分情况进行讨论.

答案： ①如图
(1)所示：
在$Rt\bigtriangleup ABD$中，$BD = \sqrt{AB^{2}-AD^{2}}=\sqrt{15^{2}-12^{2}} = 9$；
在$Rt\bigtriangleup ACD$中，$CD = \sqrt{AC^{2}-AD^{2}}=\sqrt{13^{2}-12^{2}} = 5$；
所以$BC = BD + CD = 9 + 5 = 14$；
则$S_{\bigtriangleup ABC}=\frac{1}{2}BC\cdot AD=\frac{1}{2}×14×12 = 84$。
②如图
(2)所示：
在$Rt\bigtriangleup ABD$中，$BD = \sqrt{AB^{2}-AD^{2}}=\sqrt{15^{2}-12^{2}} = 9$；
在$Rt\bigtriangleup ACD$中，$CD = \sqrt{AC^{2}-AD^{2}}=\sqrt{13^{2}-12^{2}} = 5$；
所以$BC = BD - CD = 9 - 5 = 4$；
则$S_{\bigtriangleup ABC}=\frac{1}{2}BC\cdot AD=\frac{1}{2}×4×12 = 24$。
综上，$\bigtriangleup ABC$的面积为$84$或$24$。