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例4 某个数的两个不同的平方根是$a^2 + b和4 - 4a - 2\sqrt{b - 1}$,那么这个数是______.
名师启发 先根据平方根的定义得出$a^2 + b + 4 - 4a - 2\sqrt{b - 1} = 0$,变形为$(a - 2)^2 + (\sqrt{b - 1} - 1)^2 = 0$,根据非负数的性质可得a,b的值,继而得出其平方根,由平方根的定义可得答案.
关键提醒
本题解题的关键是掌握平方根的定义和性质、非负数的性质、完全平方公式.
名师启发 先根据平方根的定义得出$a^2 + b + 4 - 4a - 2\sqrt{b - 1} = 0$,变形为$(a - 2)^2 + (\sqrt{b - 1} - 1)^2 = 0$,根据非负数的性质可得a,b的值,继而得出其平方根,由平方根的定义可得答案.
关键提醒
本题解题的关键是掌握平方根的定义和性质、非负数的性质、完全平方公式.
答案：
36 [解析]
∵某个数的平方根是a²+b和4−4a−2√(b−1)，
∴a²+b+4−4a−2√(b−1)=0，
∴a²−4a+4+(√(b−1))²−2√(b−1)+1=0，
∴(a−2)²+(√(b−1)−1)²=0，
∴a−2=0且√(b−1)−1=0，解得a=2，b=2，
∴这个数的一个平方根为2²+2=6，
∴这个数为6²=36.
∵某个数的平方根是a²+b和4−4a−2√(b−1)，
∴a²+b+4−4a−2√(b−1)=0，
∴a²−4a+4+(√(b−1))²−2√(b−1)+1=0，
∴(a−2)²+(√(b−1)−1)²=0，
∴a−2=0且√(b−1)−1=0，解得a=2，b=2，
∴这个数的一个平方根为2²+2=6，
∴这个数为6²=36.
例5 (2025·泰州泰兴期末)如果x,y为实数,且满足$|x + 3| + \sqrt{3 - y} = 0$,那么x - y的值是______.
名师启发 根据根号里面的式子大于等于0,以及几个非负数和为0,则它们分别为0计算即可.
关键提醒
本题考查的是非负数的性质,熟知非负数之和等于0时,各项都等于0是解题的关键.
名师启发 根据根号里面的式子大于等于0,以及几个非负数和为0,则它们分别为0计算即可.
关键提醒
本题考查的是非负数的性质,熟知非负数之和等于0时,各项都等于0是解题的关键.
答案：
-6 [解析]
∵|x+3|+√(3−y)=0，
∴x+3=0，3−y=0，
∴x=−3，y=3，
∴x−y=−3−3=−6.
∵|x+3|+√(3−y)=0，
∴x+3=0，3−y=0，
∴x=−3，y=3，
∴x−y=−3−3=−6.
例6 已知实数a,b互为倒数,c,d互为相反数,$\sqrt[3]{-27} + x = 0$,y是$\sqrt{15}$的整数部分,则$(ab + c + d)x + \sqrt{c + d} - y^{-x} = $______.
名师启发 根据互为相反数、互为倒数、立方根的意义以及无理数的估算方法求解即可.
归纳总结
本题考查相反数、倒数、立方根、无理数的估算,掌握相反数、倒数、立方根的意义,以及无理数的整数部分的表示方法是解决问题的关键.
名师启发 根据互为相反数、互为倒数、立方根的意义以及无理数的估算方法求解即可.
归纳总结
本题考查相反数、倒数、立方根、无理数的估算,掌握相反数、倒数、立方根的意义,以及无理数的整数部分的表示方法是解决问题的关键.
答案：
80/27 [解析]
∵实数a，b互为倒数，
∴ab=1.
∵c，d互为相反数，
∴c+d=0.
∵√[3](-27)+x=0，
∴x=3.
∵3＜√15＜4，
∴√15的整数部分为3，即y=3，
∴(ab+c+d)x+√(c+d)-y^(-x)=3+0-3^(-3)=3-1/27=80/27.
∵实数a，b互为倒数，
∴ab=1.
∵c，d互为相反数，
∴c+d=0.
∵√[3](-27)+x=0，
∴x=3.
∵3＜√15＜4，
∴√15的整数部分为3，即y=3，
∴(ab+c+d)x+√(c+d)-y^(-x)=3+0-3^(-3)=3-1/27=80/27.
例7 (2025·泰州姜堰区期末)已知2a - 7和a + 4是某正数m的两个平方根,b - 12的立方根为-2,c是$\sqrt{15}$的整数部分.
(1)求m的值;
(2)求a + 3b + c的平方根.
名师启发 (1)根据正数的两个平方根互为相反数,得出2a - 7 + a + 4 = 0,求出a = 1,再求出m的值即可；
(2)利用立方根的意义、无理数的估算方法,求出b,c的值,将a,b,c的值代入代数式求出值后,进一步求得平方根即可.
归纳总结
本题考查立方根的意义、算术平方根的意义、无理数的估算方法、平方根的意义、代数式求值等知识点,读懂题意,掌握解答顺序,正确计算即可.
(1)求m的值;
(2)求a + 3b + c的平方根.
名师启发 (1)根据正数的两个平方根互为相反数,得出2a - 7 + a + 4 = 0,求出a = 1,再求出m的值即可；
(2)利用立方根的意义、无理数的估算方法,求出b,c的值,将a,b,c的值代入代数式求出值后,进一步求得平方根即可.
归纳总结
本题考查立方根的意义、算术平方根的意义、无理数的估算方法、平方根的意义、代数式求值等知识点,读懂题意,掌握解答顺序,正确计算即可.
答案：
(1)
∵某正数m的两个不同的平方根是2a−7和a+4，
∴2a−7+a+4=0，
∴a=1，
∴m=(−5)²=25.
(2)
∵b−12的立方根为−2，
∴b−12=(−2)³=−8，
∴b=4.
∵c是√15的整数部分，且3＜√15＜4，
∴c=3，
∴a+3b+c=1+12+3=16.
∵16的平方根为±4，
∴a+3b+c的平方根是±4.
(1)
∵某正数m的两个不同的平方根是2a−7和a+4，
∴2a−7+a+4=0，
∴a=1，
∴m=(−5)²=25.
(2)
∵b−12的立方根为−2，
∴b−12=(−2)³=−8，
∴b=4.
∵c是√15的整数部分，且3＜√15＜4，
∴c=3，
∴a+3b+c=1+12+3=16.
∵16的平方根为±4，
∴a+3b+c的平方根是±4.
例1 $\sqrt[3]{-27}$的立方根是______.
解析 因为$\sqrt[3]{-27} = -3$,所以-3的立方根为$\sqrt[3]{-3}$.
答案 $\sqrt[3]{-3}$
辨析归纳
本题考查立方根的意义和计算方法,理解立方根的意义是解决问题的前提,注意看清题干中要求的是$\sqrt[3]{-27}$(即-3)的立方根.
解析 因为$\sqrt[3]{-27} = -3$,所以-3的立方根为$\sqrt[3]{-3}$.
答案 $\sqrt[3]{-3}$
辨析归纳
本题考查立方根的意义和计算方法,理解立方根的意义是解决问题的前提,注意看清题干中要求的是$\sqrt[3]{-27}$(即-3)的立方根.
答案：
$\sqrt[3]{-3}$ 解析 因为$\sqrt[3]{-27} = -3$,所以-3的立方根为$\sqrt[3]{-3}$. 答案 $\sqrt[3]{-3}$
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