《2025年实验班提优训练八年级数学上册苏科版》

例8 (2024·盐城大丰区期中)如图,在△ABC中,AB= AC,D是BC边的中点,P是AD上任意一点,PE⊥AB于点E,PF⊥AC于点F.求证：
(1)PE= PF；
(2)PD平分∠BPC.

名师启发 (1)首先根据等腰三角形的顶角平分线与底边上的中线相互重合,得出AD平分∠BAC,然后根据角平分线上的点到角的两边的距离相等,即可证出PE= PF；
(2)首先根据等腰三角形“三线合一”的性质得出AD是BC的垂直平分线,然后根据线段垂直平分线的性质即可证出PB= PC.
归纳总结
本题主要考查了等腰三角形“三线合一”的性质、角平分线的性质及线段垂直平分线的性质,属于基础知识,学生应熟练掌握.

答案：
(1)
∵点D是BC边的中点，AB = AC，
∴AD平分∠BAC.
又PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，
∴PE = PF.
(2)
∵D是BC边的中点，AB = AC，
∴AD⊥BC，
∴线段PD在BC的垂直平分线上，
∴PB = PC，
∴△PBC是等腰三角形，
∴PD平分∠BPC.
一题多解
(1)
∵在△ABC中，AB = AC，D为BC中点，
∴AD平分∠BAC，
∴∠EAP = ∠FAP.
又PE⊥AB，PF⊥AC，
∴∠PEA = ∠PFA = 90°.
在△APE和△APF中，$\begin{cases} ∠EAP = ∠FAP, \\ ∠PEA = ∠PFA, \\ AP = AP, \end{cases}$
∴△APE≌△APF(AAS)，
∴PE = PF.

例9 (1)如图(1),在△ABC中,作∠ABC,∠ACB的平分线相交于点O,过点O作EF//BC分别交AB,AC于点E,F.
①求证：OE= BE；
②若△ABC的周长是25,BC= 9,试求出△AEF的周长.
(2)如图(2),若∠ABC的平分线与△ABC的外角∠ACD的平分线相交于点P,连接AP,试探究∠BAC与∠PAC的数量关系式并说明理由.

名师启发 (1)①由等腰三角形的判定和平行线的性质即可证明；
②根据三角形的周长公式即可求解.
(2)根据角平分线的性质即可得出答案.
关键提醒
熟练掌握等腰三角形的判定和角平分线的性质是解题的关键.

答案：

(1)①
∵BO平分∠ABC，
∴∠EBO = ∠OBC.
∵EF//BC，
∴∠EOB = ∠OBC.
∴∠EOB = ∠EBO.
∴OE = BE.
②同理①可得FO = FC，
∴$C_{\triangle AEF}$ = AE + AF + EF = AE + AF + EO + FO = AE + AF + EB + FC = AB + AC = $C_{\triangle ABC}$ - BC = 25 - 9 = 16.
(2)2∠PAC + ∠BAC = 180°，理由如下：
如图，过点P作PN⊥BD于点N，PF⊥BA交BA的延长线于点F，PM⊥AC于点M.

∵CP平分∠ACD，PM⊥AC，PN⊥BD，
∴∠ACP = ∠PCD，PM = PN.
∵BP平分∠ABC，PF⊥BA，PN⊥BD，
∴∠ABP = ∠PBC，PF = PN.
∴PF = PM.又PF⊥BA，PM⊥AC，
∴∠FAP = ∠PAC.
∴∠FAC = 2∠PAC.
∵∠FAC + ∠BAC = 180°，
∴2∠PAC + ∠BAC = 180°.