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例9 (2024·南京金陵汇文中学期中)如图,方格纸中每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形,现有A,B,C三点,其中点A坐标为(-4,1),点B坐标为(1,1).
(1)请根据点A,B的坐标在方格纸中建立平面直角坐标系,并直接写出点C坐标为______；
(2)依次连接A,B,C,A,得到△ABC,请判断△ABC的形状,并说明理由；
(3)若点C关于直线AB的对称点为点D,则点D的坐标为______；
(4)在y轴上找一点F,使△ABF的面积等于△ABD的面积,点F的坐标为______.
名师启发 (1)根据点B的坐标画出平面直角坐标系,再根据点C在坐标系中的位置写出坐标即可；
(2)由勾股定理算出△ABC三边的平方,根据两个小的平方数之和等于大的平方数,即可由勾股定理逆定理得三角形为直角三角形；
(3)在图中作出点C关于直线AB的对称点为点D即可；
(4)根据△ABF的面积等于△ABD的面积,这两个三角形同底AB,所以高相等,则点F,D到AB的距离相等,即可得到答案.
🌍归纳总结
本题考查了坐标确定位置,平面内的点与有序数对一一对应,勾股定理及其逆定理的运用,轴对称的性质,三角形的面积等知识,解题的关键是掌握各个知识点,灵活运用所学知识解决问题.
(1)请根据点A,B的坐标在方格纸中建立平面直角坐标系,并直接写出点C坐标为______；
(2)依次连接A,B,C,A,得到△ABC,请判断△ABC的形状,并说明理由；
(3)若点C关于直线AB的对称点为点D,则点D的坐标为______；
(4)在y轴上找一点F,使△ABF的面积等于△ABD的面积,点F的坐标为______.
名师启发 (1)根据点B的坐标画出平面直角坐标系,再根据点C在坐标系中的位置写出坐标即可；
(2)由勾股定理算出△ABC三边的平方,根据两个小的平方数之和等于大的平方数,即可由勾股定理逆定理得三角形为直角三角形；
(3)在图中作出点C关于直线AB的对称点为点D即可；
(4)根据△ABF的面积等于△ABD的面积,这两个三角形同底AB,所以高相等,则点F,D到AB的距离相等,即可得到答案.
🌍归纳总结
本题考查了坐标确定位置,平面内的点与有序数对一一对应,勾股定理及其逆定理的运用,轴对称的性质,三角形的面积等知识,解题的关键是掌握各个知识点,灵活运用所学知识解决问题.
答案：
(1)(−3,3) [解析]如图,建立平面直角坐标系，则点C的坐标为(−3,3).
(2)△ABC为直角三角形.理由如下:由网格图,可知AB²=(1+4)²=25,AC²=1²+2²=5,BC²=2²+4²=20.
∵20+5=25,即BC²+AC²=AB²,
∴△ABC为直角三角形.
(3)(−3,−1)
(4)(0,−1)或(0,3) [解析]
∵△ABF的面积等于△ABD的面积,
∴点F,D到AB的距离相等,则|y_F−1|=1−(−1)=2,解得y_F=−1或3.又点F在y轴上,
∴F(0,−1)或(0,3).
(1)(−3,3) [解析]如图,建立平面直角坐标系，则点C的坐标为(−3,3).
(2)△ABC为直角三角形.理由如下:由网格图,可知AB²=(1+4)²=25,AC²=1²+2²=5,BC²=2²+4²=20.
∵20+5=25,即BC²+AC²=AB²,
∴△ABC为直角三角形.
(3)(−3,−1)
(4)(0,−1)或(0,3) [解析]
∵△ABF的面积等于△ABD的面积,
∴点F,D到AB的距离相等,则|y_F−1|=1−(−1)=2,解得y_F=−1或3.又点F在y轴上,
∴F(0,−1)或(0,3).
例10 在平面直角坐标系中,一个智能机器人接到如下指令：从原点O出发,按向右,向上,向右,向下的方向依次不断移动,每次移动1m.其行走路线如图所示,第1次移动到A1,第2次移动到A2,…,第n次移动到An,则△OA2A2025的面积为( ).
$A.505 m^2$
$B.506 m^2$
C.$\frac{1013}{2}$ m^2
D.507 m^2
名师启发 由题意,可得规律OA_4ₙ= 2n m,从而可得OA_2₀_2_4= 2×506= 1012(m),进而OA_2₀_2_5= 1012+1= 1013(m),最后△OA_2A_2₀_2_5的面积根据$\frac{1}{2}$OA_2₀_2_5×1可得答案.
🔔关键提醒
本题考查点的坐标和探索规律,能够理解题意,通过已知条件探索点的坐标的循环规律是解题的关键.
$A.505 m^2$
$B.506 m^2$
C.$\frac{1013}{2}$ m^2
D.507 m^2
名师启发 由题意,可得规律OA_4ₙ= 2n m,从而可得OA_2₀_2_4= 2×506= 1012(m),进而OA_2₀_2_5= 1012+1= 1013(m),最后△OA_2A_2₀_2_5的面积根据$\frac{1}{2}$OA_2₀_2_5×1可得答案.
🔔关键提醒
本题考查点的坐标和探索规律,能够理解题意,通过已知条件探索点的坐标的循环规律是解题的关键.
答案：
C [解析]由题意,得OA₄ₙ=2n.
∵2025÷4=506……1,
∴OA₂₀₂₅=1012+1=1013.
∴△OA₂A₂₀₂₅的面积为$\frac{1}{2}$×1×1013=$\frac{1013}{2}$(m²).故选C.
∵2025÷4=506……1,
∴OA₂₀₂₅=1012+1=1013.
∴△OA₂A₂₀₂₅的面积为$\frac{1}{2}$×1×1013=$\frac{1013}{2}$(m²).故选C.
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