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1. 如图,在锐角三角形ABC中,直线l为BC的垂直平分线,射线m为∠ABC的平分线,l与m相交于点P。若∠A= 60°,∠ACP= 24°,则∠ABP的度数为 (
A.24°
B.30°
C.32°
D.36°
C
)A.24°
B.30°
C.32°
D.36°
答案：
C
2. 如图,在△ABC中,∠CAB的平分线AD与BC的垂直平分线DE交于点D,DM⊥AB于点M,DN⊥AC,交AC的延长线于点N。
(1)求证：BM= CN；
(2)若AB= 8,AC= 4,求BM的长。
(1)求证：BM= CN；
(2)若AB= 8,AC= 4,求BM的长。
答案：
1. （1）证明：
连接$BD$，$CD$。
因为$AD$平分$\angle CAB$，$DM\perp AB$，$DN\perp AC$，根据角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等，所以$DM = DN$。
又因为$DE$是$BC$的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，所以$BD = CD$。
在$Rt\triangle BMD$和$Rt\triangle CND$中，$\left\{\begin{array}{l}BD = CD\\DM = DN\end{array}\right.$。
根据$HL$（斜边 - 直角边）定理：如果两个直角三角形的斜边和一条直角边分别相等，那么这两个直角三角形全等，可得$Rt\triangle BMD\cong Rt\triangle CND$。
所以$BM = CN$。
2. （2）解：
因为$AD$平分$\angle CAB$，$DM\perp AB$，$DN\perp AC$，所以$\angle AMD=\angle AND = 90^{\circ}$，$\angle MAD=\angle NAD$，又$AD = AD$。
根据$AAS$（角 - 角 - 边）定理：如果两个三角形的两个角和其中一个角的对边分别相等，那么这两个三角形全等，可得$\triangle AMD\cong\triangle AND$，所以$AM = AN$。
因为$AM=AB - BM$，$AN=AC + CN$，又$BM = CN$。
设$BM=x$，则$AM = 8 - x$，$AN=4 + x$。
所以$8 - x=4 + x$。
移项可得：$-x - x=4 - 8$，即$-2x=-4$。
两边同时除以$-2$：$x = 2$。
所以（1）已证$BM = CN$；（2）$BM$的长为$2$。
连接$BD$，$CD$。
因为$AD$平分$\angle CAB$，$DM\perp AB$，$DN\perp AC$，根据角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等，所以$DM = DN$。
又因为$DE$是$BC$的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，所以$BD = CD$。
在$Rt\triangle BMD$和$Rt\triangle CND$中，$\left\{\begin{array}{l}BD = CD\\DM = DN\end{array}\right.$。
根据$HL$（斜边 - 直角边）定理：如果两个直角三角形的斜边和一条直角边分别相等，那么这两个直角三角形全等，可得$Rt\triangle BMD\cong Rt\triangle CND$。
所以$BM = CN$。
2. （2）解：
因为$AD$平分$\angle CAB$，$DM\perp AB$，$DN\perp AC$，所以$\angle AMD=\angle AND = 90^{\circ}$，$\angle MAD=\angle NAD$，又$AD = AD$。
根据$AAS$（角 - 角 - 边）定理：如果两个三角形的两个角和其中一个角的对边分别相等，那么这两个三角形全等，可得$\triangle AMD\cong\triangle AND$，所以$AM = AN$。
因为$AM=AB - BM$，$AN=AC + CN$，又$BM = CN$。
设$BM=x$，则$AM = 8 - x$，$AN=4 + x$。
所以$8 - x=4 + x$。
移项可得：$-x - x=4 - 8$，即$-2x=-4$。
两边同时除以$-2$：$x = 2$。
所以（1）已证$BM = CN$；（2）$BM$的长为$2$。
3. 如图,△ABC的边BC的垂直平分线DE交△ABC的外角平分线AD于点D,DF⊥AB于点F,且AB＞AC,试探究BF,AC,AF之间的数量关系,并说明理由。
答案：
1. 首先，过点$D$作$DG\perp AC$，交$CA$的延长线于点$G$：
因为$AD$是$\triangle ABC$的外角平分线，$DF\perp AB$，$DG\perp AC$，根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，所以$DF = DG$。
又因为$DE$是$BC$的垂直平分线，根据垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，所以$DB = DC$。
2. 然后，证明$Rt\triangle DFB\cong Rt\triangle DGC$：
在$Rt\triangle DFB$和$Rt\triangle DGC$中，$\left\{\begin{array}{l}DB = DC\\DF = DG\end{array}\right.$（$HL$定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等）。
所以$BF = CG$。
3. 接着，证明$Rt\triangle DFA\cong Rt\triangle DGA$：
在$Rt\triangle DFA$和$Rt\triangle DGA$中，$\left\{\begin{array}{l}AD = AD\\DF = DG\end{array}\right.$（$HL$定理）。
所以$AF = AG$。
4. 最后，探究$BF$，$AC$，$AF$之间的数量关系：
因为$CG=AC + AG$，又$BF = CG$，$AF = AG$。
解：$BF=AC + AF$。
理由：过点$D$作$DG\perp AC$，交$CA$的延长线于点$G$。
由于$AD$平分$\angle BAG$（外角），$DF\perp AB$，$DG\perp AC$，根据角平分线性质$DF = DG$；又$DE$垂直平分$BC$，所以$DB = DC$。
在$Rt\triangle DFB$和$Rt\triangle DGC$中，$\left\{\begin{array}{l}DB = DC\\DF = DG\end{array}\right.$，由$HL$定理得$Rt\triangle DFB\cong Rt\triangle DGC$，则$BF = CG$。
在$Rt\triangle DFA$和$Rt\triangle DGA$中，$\left\{\begin{array}{l}AD = AD\\DF = DG\end{array}\right.$，由$HL$定理得$Rt\triangle DFA\cong Rt\triangle DGA$，则$AF = AG$。
因为$CG = AC+AG$，把$BF = CG$，$AF = AG$代入可得$BF=AC + AF$。
因为$AD$是$\triangle ABC$的外角平分线，$DF\perp AB$，$DG\perp AC$，根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，所以$DF = DG$。
又因为$DE$是$BC$的垂直平分线，根据垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，所以$DB = DC$。
2. 然后，证明$Rt\triangle DFB\cong Rt\triangle DGC$：
在$Rt\triangle DFB$和$Rt\triangle DGC$中，$\left\{\begin{array}{l}DB = DC\\DF = DG\end{array}\right.$（$HL$定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等）。
所以$BF = CG$。
3. 接着，证明$Rt\triangle DFA\cong Rt\triangle DGA$：
在$Rt\triangle DFA$和$Rt\triangle DGA$中，$\left\{\begin{array}{l}AD = AD\\DF = DG\end{array}\right.$（$HL$定理）。
所以$AF = AG$。
4. 最后，探究$BF$，$AC$，$AF$之间的数量关系：
因为$CG=AC + AG$，又$BF = CG$，$AF = AG$。
解：$BF=AC + AF$。
理由：过点$D$作$DG\perp AC$，交$CA$的延长线于点$G$。
由于$AD$平分$\angle BAG$（外角），$DF\perp AB$，$DG\perp AC$，根据角平分线性质$DF = DG$；又$DE$垂直平分$BC$，所以$DB = DC$。
在$Rt\triangle DFB$和$Rt\triangle DGC$中，$\left\{\begin{array}{l}DB = DC\\DF = DG\end{array}\right.$，由$HL$定理得$Rt\triangle DFB\cong Rt\triangle DGC$，则$BF = CG$。
在$Rt\triangle DFA$和$Rt\triangle DGA$中，$\left\{\begin{array}{l}AD = AD\\DF = DG\end{array}\right.$，由$HL$定理得$Rt\triangle DFA\cong Rt\triangle DGA$，则$AF = AG$。
因为$CG = AC+AG$，把$BF = CG$，$AF = AG$代入可得$BF=AC + AF$。
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