《2025年启东中学作业本八年级数学上册苏科版盐城专版》

1. 如图,在$\triangle ABC$中,$AD是BC$边上的中线,$E是AC$上一点,$BE交AD于点F$,若$AE = EF$,求证：$BF = AC$。

答案： 解：延长$AD$到$G$，使$DG = AD$，连接$BG$。
因为$AD$是$BC$边上的中线，所以$BD = CD$。
在$\triangle BDG$和$\triangle CDA$中：
$\begin{cases}BD = CD\\\angle BDG=\angle CDA\\DG = DA\end{cases}$
根据$SAS$（边角边）定理可得$\triangle BDG\cong\triangle CDA$。
所以$BG = AC$，$\angle G=\angle CAD$。
因为$AE = EF$，所以$\angle CAD=\angle AFE$。
又因为$\angle AFE=\angle BFG$，所以$\angle G=\angle BFG$。
所以$BF = BG$。
又因为$BG = AC$，所以$BF = AC$。
综上，$BF = AC$得证。

2. 如图,在$\triangle ABC$中,$AB = AC$,$D为线段AC$上一点,连接$BD$,且$BD = BC$,$CE\perp AB于点E$,$F是CE$的中点,连接$BF$,若$\angle CBD = \angle ABF$,求证：$AB = 2BF$。

答案： 解：
因为$AB = AC$，$BD = BC$，
所以$\angle ABC=\angle ACB$，$\angle BDC=\angle BCD$。
设$\angle A = x$，则$\angle ABC=\angle ACB=\frac{180 - x}{2}$。
因为$\angle BDC=\angle A+\angle ABD$，$\angle BDC=\angle BCD$，$\angle BCD=\angle ACB$，
所以$\angle ABD=\angle BDC-\angle A=\angle ACB - x=\frac{180 - x}{2}-x = 90-\frac{3x}{2}$。
又因为$\angle CBD=\angle ABF$，
所以$\angle FBC=\angle ABC-\angle ABF-\angle CBD=\angle ABC - 2\angle ABF$。
因为$CE\perp AB$，$F$是$CE$的中点，
所以$BF = EF = FC$（直角三角形斜边中线等于斜边一半）。
延长$BF$至$G$，使$FG = BF$，连接$CG$。
因为$F$是$CE$中点，所以$CF = EF$，
在$\triangle BEF$和$\triangle GCF$中，
$\begin{cases}BF = FG\\\angle BFE=\angle GFC\\EF = CF\end{cases}$
所以$\triangle BEF\cong\triangle GCF(SAS)$，则$BE = CG$，$\angle EBF=\angle G$。
因为$\angle CBD=\angle ABF$，$\angle ABC=\angle ACB$，
所以$\angle FBC=\angle ACB - 2\angle ABF$。
又因为$\angle BCG=\angle ACB-\angle GCB$，$\angle G=\angle EBF=\angle ABF$，
$\angle GCB=\angle G$（$\triangle BEF\cong\triangle GCF$），
所以$\angle FBC=\angle BCG$，则$BG = CG$。
因为$BE = CG$，$BG = 2BF$，
在$\triangle BEC$中，$\angle BEC = 90^{\circ}$，$AB = AC$，$CE\perp AB$，
所以$AE = BE$（等腰三角形三线合一），$AB = 2BE$。
又因为$BE = CG = BG = 2BF$，
所以$AB = 2BF$。