《2025年启东中学作业本八年级数学上册苏科版盐城专版》

1. 对角线互相垂直的四边形叫作“垂美”四边形,现有如图所示的“垂美”四边形ABCD,对角线AC,BD交于点O。若AD= 2,BC= 4,则$AB^{2}+CD^{2}=$20。

答案： 20

2. 如图,在$\triangle ABC$中,AB= 15,BC= 14,AC= 13,求$\triangle ABC$的面积。

答案： 1. 首先，设$BD = x$，则$CD=14 - x$：
在$Rt\triangle ABD$中，根据勾股定理$AD^{2}=AB^{2}-BD^{2}$，因为$AB = 15$，所以$AD^{2}=15^{2}-x^{2}=225 - x^{2}$。
在$Rt\triangle ACD$中，根据勾股定理$AD^{2}=AC^{2}-CD^{2}$，因为$AC = 13$，所以$AD^{2}=13^{2}-(14 - x)^{2}$。
2. 然后，建立等式：
由于$AD^{2}$的值相等，那么$225 - x^{2}=13^{2}-(14 - x)^{2}$。
展开$13^{2}-(14 - x)^{2}$：
根据完全平方公式$(a - b)^{2}=a^{2}-2ab + b^{2}$，$13^{2}-(14 - x)^{2}=169-(196 - 28x+x^{2})$。
即$169-(196 - 28x+x^{2})=169 - 196 + 28x - x^{2}=-27 + 28x - x^{2}$。
所以$225 - x^{2}=-27 + 28x - x^{2}$。
等式两边$-x^{2}$消去，得到$225=-27 + 28x$。
移项可得$28x=225 + 27$，即$28x=252$，解得$x = 9$。
3. 接着，求$AD$的长度：
把$x = 9$代入$AD^{2}=15^{2}-x^{2}$，得$AD^{2}=225-81 = 144$，所以$AD = 12$（$AD\gt0$）。
4. 最后，求$\triangle ABC$的面积：
根据三角形面积公式$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}BC\cdot AD$。
已知$BC = 14$，$AD = 12$，则$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}×14×12$。
$S_{\triangle ABC}=84$。
另一种方法（海伦 - 秦九韶公式）：
1. 先求半周长$p$：
$p=\frac{AB + BC+AC}{2}=\frac{15 + 14+13}{2}=\frac{42}{2}=21$。
2. 再根据海伦 - 秦九韶公式$S=\sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}$（其中$a = 14$，$b = 13$，$c = 15$）：
$S=\sqrt{21×(21 - 14)×(21 - 13)×(21 - 15)}$。
$=\sqrt{21×7×8×6}$。
$=\sqrt{7×3×7×8×6}$。
$=\sqrt{49×144}$。
$=7×12=84$。
所以$\triangle ABC$的面积是$84$。

3. 如图,在$\triangle ABC$中,BC= 4,AC= 13,AB= 15,求$S_{\triangle ABC}$的值。

答案： 1. 首先，根据海伦公式：
海伦公式为$S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}$，其中$a,b,c$为三角形三边，$p=\frac{a + b + c}{2}$。
已知$a = 4$，$b = 13$，$c = 15$。
2. 然后，计算$p$的值：
计算$p=\frac{4 + 13+15}{2}=\frac{32}{2}=16$。
3. 最后，计算三角形面积$S$：
把$p = 16$，$a = 4$，$b = 13$，$c = 15$代入海伦公式$S=\sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}$，得$S=\sqrt{16×(16 - 4)×(16 - 13)×(16 - 15)}$。
先计算括号内的值：$16-4 = 12$，$16 - 13=3$，$16 - 15 = 1$。
则$S=\sqrt{16×12×3×1}$。
因为$16×12×3×1=(4×4)×(3×4)×3×1=(4×4)×(3×3)×4$，所以$S=\sqrt{4×4×3×3×4}= \sqrt{4^{2}×3^{2}×4}$。
根据$\sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}(a\geq0,b\geq0)$，$S = 4×3×\sqrt{4}=24$。
所以$S_{\triangle ABC}=24$。