《2025年启东中学作业本八年级数学上册苏科版盐城专版》

1. 如图,在$Rt△AEB和Rt△AFC$中,$∠E= ∠F= 90^{\circ },BE= CF$。$BE与AC相交于点M$,与$CF相交于点D$,$AB与CF相交于点N$,$∠EAC= ∠FAB$。有下列结论：①$∠B= ∠C$；②$CD= DN$；③$CM= BN$；④$△ACN≌△ABM$。其中正确结论的序号是______①③④。

答案： ①③④

2. 如图,在$△ABC$中,$D为边BC$上一点,$E为边BA$上一点,且$AE= CD$,连接$AD$,$F为AD$的中点,连接$EF$并延长,交$AC于点G$,在$FG上取点H$,使$FH= FE$,连接$GD$。若$HG= CG$,求证：
(1)$△AEF≌△DHF$；
(2)$∠B= 2∠GDC$。

答案： 证明:
(1)
∵F为AD的中点，
∴AF=DF.
在△AEF和△DHF中，$\left\{\begin{array}{l} AF=DF,\\ ∠AFE=∠DFH,\\ FE=FH,\end{array}\right. $
∴△AEF≌△DHF(SAS).
(2)
∵△AEF≌△DHF，
∴∠EAF=∠HDF，AE=DH，
∴DH//AB，
∴∠HDC=∠B.
∵AE=CD，
∴DH=CD.在△DHG和△DCG中，
$\left\{\begin{array}{l} DH=DC,\\ HG=CG,\\ DG=DG,\end{array}\right. $
∴△DHG≌△DCG(SSS)，
∴∠GDC=∠GDH，
∴∠HDC=∠GDC+∠GDH=2∠GDC，
∴∠B=2∠GDC.

3. 如图,$AP// BC$,$∠PAB的平分线与∠CBA的平分线相交于点E$,$CE的延长线交AP于点D$。
(1)探索$AE与BE$的位置关系,并说明理由；
(2)证明：$AB= AD+BC$；
(3)若$BE= 6$,$AE= 6.5$,求四边形$ABCD$的面积。

答案：
(1)解:AE⊥BE.
理由:
∵AP//BC，
∴∠DAB+∠CBA=180°.
∵∠PAB的平分线与∠CBA的平分线相交于点E，
∴∠BAE=$\frac{1}{2}$∠PAB，∠EBA=$\frac{1}{2}$∠CBA，
∴∠EAB+∠EBA=$\frac{1}{2}$∠PAB+$\frac{1}{2}$∠CBA=$\frac{1}{2}$(∠PAB+∠CBA)=90°，
∴∠AEB=90°，
∴AE⊥BE.
(2)证明:如答图，延长AE交BC的延长线于点M.
∵AE平分∠PAB，BE平分∠CBA，
∴∠1=∠2，∠3=∠4.
∵AD//BC，
∴∠1=∠M=∠2，
∴BM=BA.
由
(1)知AE⊥BE，
∴∠AEB=∠MEB.
在△ABE和△MBE中，$\left\{\begin{array}{l} ∠3=∠4,\\ BE=BE,\\ ∠AEB=∠MEB,\end{array}\right. $
∴△ABE≌△MBE，
∴AE=ME.
在△ADE和△MCE中，$\left\{\begin{array}{l} ∠1=∠M,\\ AE=ME,\\ ∠5=∠6,\end{array}\right. $
∴△ADE≌△MCE，
∴AD=CM，
∴AB=BM=BC+CM=BC+AD.
(3)解:由
(2)知△ADE≌△MCE，
∴S四边形ABCD=S△ABM.
又
∵AE=ME=6.5，BE=6，
∴S△ABM=$\frac{1}{2}$×13×6=39，
∴S四边形ABCD=39.