《2025年启东中学作业本八年级数学上册苏科版盐城专版》

1.如图①,②,在四边形 ABCD 中,$∠BAD= α,∠BCD= 180^{\circ }-α$,BD 平分$∠ABC.$
(1)如图①,若$α=90^{\circ }$,根据教材中一个重要的性质可直接得$DA= DC$,这个性质是角平分线上的点到角两边的距离相等;
(2)问题解决:如图②,求证:$AD= CD;$
解：过点$D$分别作$DE\perp BA$，$DF\perp BC$，垂足分别为$E$，$F$。
因为$BD$平分$\angle ABC$，$DE\perp BA$，$DF\perp BC$，所以$DE = DF$。
因为$\angle BAD+\angle ABC+\angle BCD+\angle ADC = 360^{\circ}$，$\angle BAD=\alpha$，$\angle BCD = 180^{\circ}-\alpha$，所以$\angle ABC+\angle ADC = 180^{\circ}$。
又因为$\angle ABC+\angle EBF = 180^{\circ}$，所以$\angle ADC=\angle EBF$。
因为$\angle DAE+\angle BAD = 180^{\circ}$，$\angle BAD=\alpha$，所以$\angle DAE = 180^{\circ}-\alpha$，$\angle DAE=\angle BCD$。
在$\triangle DAE$和$\triangle DCF$中，$\left\{\begin{array}{l}\angle DEA=\angle DFC = 90^{\circ}\\DE = DF\\\angle DAE=\angle DCF\end{array}\right.$。
根据$AAS$（两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等），可得$\triangle DAE\cong\triangle DCF$。
所以$AD = CD$。
(3)问题拓展:如图③,在等腰$△ABC$中,$∠BAC= 100^{\circ }$,BD 平分$∠ABC$,求证:$BD+$ $AD= BC.$
解：在$BC$上截取$BF = BD$，连接$DF$。
因为$\triangle ABC$是等腰三角形，$\angle BAC = 100^{\circ}$，所以$\angle ABC=\angle C=\frac{1}{2}(180^{\circ}-100^{\circ}) = 40^{\circ}$。
因为$BD$平分$\angle ABC$，所以$\angle ABD=\angle DBC=\frac{1}{2}×40^{\circ}=20^{\circ}$。
因为$BD = BF$，所以$\angle BDF=\angle BFD=\frac{1}{2}(180^{\circ}-20^{\circ}) = 80^{\circ}$。
由（2）知$AD = CD$。
因为$\angle BFD$是$\triangle DFC$的外角，所以$\angle BFD=\angle FDC+\angle C$，则$\angle FDC=\angle BFD - \angle C=80^{\circ}-40^{\circ}=40^{\circ}$。
所以$\angle FDC=\angle C$，所以$DF = DC$。
又因为$AD = CD$，所以$DF = AD$。
因为$BC=BF + FC$，$BF = BD$，$FC = DF = AD$。
所以$BD + AD=BC$。

答案： 1. （1）角平分线上的点到角两边的距离相等
2. （2）
解：过点$D$分别作$DE\perp BA$，$DF\perp BC$，垂足分别为$E$，$F$。
因为$BD$平分$\angle ABC$，$DE\perp BA$，$DF\perp BC$，所以$DE = DF$。
因为$\angle BAD+\angle ABC+\angle BCD+\angle ADC = 360^{\circ}$，$\angle BAD=\alpha$，$\angle BCD = 180^{\circ}-\alpha$，所以$\angle ABC+\angle ADC = 180^{\circ}$。
又因为$\angle ABC+\angle EBF = 180^{\circ}$，所以$\angle ADC=\angle EBF$。
因为$\angle DAE+\angle BAD = 180^{\circ}$，$\angle BAD=\alpha$，所以$\angle DAE = 180^{\circ}-\alpha$，$\angle DAE=\angle BCD$。
在$\triangle DAE$和$\triangle DCF$中，$\left\{\begin{array}{l}\angle DEA=\angle DFC = 90^{\circ}\\DE = DF\\\angle DAE=\angle DCF\end{array}\right.$。
根据$AAS$（两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等），可得$\triangle DAE\cong\triangle DCF$。
所以$AD = CD$。
3. （3）
解：在$BC$上截取$BF = BD$，连接$DF$。
因为$\triangle ABC$是等腰三角形，$\angle BAC = 100^{\circ}$，所以$\angle ABC=\angle C=\frac{1}{2}(180^{\circ}-100^{\circ}) = 40^{\circ}$。
因为$BD$平分$\angle ABC$，所以$\angle ABD=\angle DBC=\frac{1}{2}×40^{\circ}=20^{\circ}$。
因为$BD = BF$，所以$\angle BDF=\angle BFD=\frac{1}{2}(180^{\circ}-20^{\circ}) = 80^{\circ}$。
由（2）知$AD = CD$。
因为$\angle BFD$是$\triangle DFC$的外角，所以$\angle BFD=\angle FDC+\angle C$，则$\angle FDC=\angle BFD - \angle C=80^{\circ}-40^{\circ}=40^{\circ}$。
所以$\angle FDC=\angle C$，所以$DF = DC$。
又因为$AD = CD$，所以$DF = AD$。
因为$BC=BF + FC$，$BF = BD$，$FC = DF = AD$。
所以$BD + AD=BC$。

2.(1)如图①,在$△ABC$中,$AB= AC$,若$∠A= 110^{\circ }$,则$∠B= $____;若$∠B= 70^{\circ }$,则 $∠A= $____.
(2)如图②,在四边形 ABCD 中,$AB= AD,∠B+∠ADC= 180^{\circ }$,若连接 CA,则 CA 平分$∠BCD.$
某数学小组成员通过观察、实验,提出以下想法:延长 CD 到点 E,使$DE= BC$,连接 AE,利用三角形全等的判定和等腰三角形的性质可以证明 CA 平分$∠BCD$.请你参考他们的想法,写出完整的证明过程.
(3)如图③,在五边形 ABCDE 中,$AB= AE,BC+DE= CD,∠B+∠AED= 180^{\circ }$,连接 CA,CA 平分$∠BCD$吗? 请说明理由.

答案：
2.
(1)35°　40°
(2)证明:如答图①,延长CD到点E,使DE=BC,连接AE,
∴∠ADC+∠ADE=180°.
∵∠B+∠ADC=180°,
∴∠B=∠ADE.
在△ABC和△ADE中,AB=AD,∠B=∠ADE,BC=DE,
∴△ABC≌△ADE(SAS),
∴∠ACB=∠E,AC=AE,
∴∠ACD=∠E,
∴∠ACD=∠ACB,
∴CA平分∠BCD.

(3)解:CA平分∠BCD.
理由:如答图②,延长DE到点F,使EF=BC,连接AF,AD,
∴∠AED+∠AEF=180°.
∵∠B+∠AED=180°,
∴∠B=∠AEF.
∵AB=AE,
∴△ABC≌△AEF(SAS),
∴AC=AF,∠ACB=∠F.
∵BC+DE=CD,BC=EF,
∴CD=FD.
在△ACD和△AFD中,AC=AF,AD=AD,CD=FD,
∴△ACD≌△AFD(SSS),
∴∠ACD=∠F,
∴∠ACD=∠ACB,
∴CA平分∠BCD.