《2025年启东中学作业本八年级数学上册苏科版盐城专版》

1. 如图,等边三角形 ABC 的边长为 3,过 AB 边上一点 P 作$PE⊥AC$于点 E,Q 为 BC 延长线上一点,且$CQ= PA$,连接 PQ,交 AC 于点 M,则 EM 的长为$\frac{3}{2}$。

答案： $\frac{3}{2}$

2. 如图,在$\triangle ABC$中,$AC⊥BC$,D 是 AB 上一点,且$CD= AD$,F 是 BC 延长线上一点,$CF= \frac {1}{2}DC$,$∠DCF= 120^{\circ }$,连接 DF 交 AC 于点 E。若$AE= 24$,则线段 CE 的长为____。

答案：
8　点拨:如答图,过点D作DH⊥AC于点H,

∵AC⊥BC,
∴∠ECF=90°.
∵∠DCF=120°,
∴∠ACD=30°,
∴DH=$\frac{1}{2}$DC.
∵CF=$\frac{1}{2}$DC,
∴DH=CF.
在△DHE与△FCE中,$\left\{\begin{array}{l} ∠DEH=∠FEC,\\ ∠DHE=∠FCE,\\ DH=FC,\end{array}\right. $
∴△DHE≌△FCE(AAS),
∴EH=EC.
∵AD=CD,
∴AH=CH,
∴AE=3CE=24,
∴CE=8.

3. 在等边三角形 ABC 中,点 E 在 AB 上,点 D 在 CB 的延长线上,且$AE= BD$。试探索以下问题：
(1)如图①,当 E 为 AB 的中点时,求证：$EC= ED$；
(2)如图②,当 E 不是 AB 的中点时,过点 E 作$EF// BC$,交 AC 于点 F,求证：$\triangle AEF$是等边三角形；
(3)在(2)的条件下,EC 与 ED 还相等吗？请说明理由。

答案：
(1)证明:
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=BC,∠ABC=∠ACB=∠A=60°.
∵E是AB的中点，
∴AE=BE,∠ECB=$\frac{1}{2}$∠ACB=30°.
∵AE=BD,
∴BE=BD,
∴∠EDB=∠DEB=$\frac{1}{2}$∠ABC=30°,
∴∠EDB=∠ECB,
∴EC=ED.
(2)证明:
∵EF//BC,
∴∠AEF=∠ABC=60°,∠AFE=∠ACB=60°,
∴△AEF是等边三角形.
(3)解:ED=EC;理由如下:
∵△AEF是等边三角形，
∴AE=AF=EF,∠AFE=∠ABC=60°,
∴∠EFC=∠DBE=120°.
又
∵AE=BD,AB=AC,
∴BD=EF,BE=FC.
在△DBE和△EFC中,$\left\{\begin{array}{l} BD=FE,\\ ∠DBE=∠EFC,\\ BE=FC,\end{array}\right. $
∴△DBE≌△EFC(SAS),
∴ED=EC.