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1. 老师布置的作业中有这么一道题：
如图,在△ABC中,D为BC的中点,若AC= 3,AD= 4,则AB的长不可能是( )
A. 5
B. 7
C. 8
D. 9
甲同学认为AB,AC,AD这三条边不在同一个三角形中,无法解答,老师给的题目有错误。乙同学认为可以从中点D出发,构造辅助线,利用全等的知识解决。丙同学认为可以过点C作AB的平行线,构造辅助线,利用全等的知识解决。你认为想法正确的是(
A. 甲
B. 乙
C. 丙
D. 乙和丙
如图,在△ABC中,D为BC的中点,若AC= 3,AD= 4,则AB的长不可能是( )
A. 5
B. 7
C. 8
D. 9
甲同学认为AB,AC,AD这三条边不在同一个三角形中,无法解答,老师给的题目有错误。乙同学认为可以从中点D出发,构造辅助线,利用全等的知识解决。丙同学认为可以过点C作AB的平行线,构造辅助线,利用全等的知识解决。你认为想法正确的是(
D
)A. 甲
B. 乙
C. 丙
D. 乙和丙
答案：
D
2. 如图,AD是△ABC的中线,AB= AE,AC= AF,∠BAE= ∠CAF= 90°,试判断线段AD与EF的数量关系,并加以证明。
答案：
解：$EF = 2AD$，证明如下：
延长$AD$到$G$，使$DG = AD$，连接$BG$。
因为$AD$是$\triangle ABC$的中线，所以$BD = CD$。
在$\triangle BDG$和$\triangle CDA$中，$\begin{cases}BD = CD\\\angle BDG=\angle CDA\\DG = DA\end{cases}$，根据$SAS$（边角边）定理可得$\triangle BDG\cong\triangle CDA$。
所以$BG = AC$，$\angle GBD=\angle ACD$。
因为$AC = AF$，所以$BG = AF$。
$\angle EAF=\angle BAE+\angle BAC+\angle CAF = 90^{\circ}+\angle BAC + 90^{\circ}=180^{\circ}+\angle BAC$。
$\angle ABG=\angle ABD+\angle GBD=\angle ABD+\angle ACD$，又因为$\angle BAC + \angle ABD+\angle ACD=180^{\circ}$，所以$\angle ABG = 180^{\circ}-\angle BAC$，那么$\angle EAF+\angle ABG=180^{\circ}+\angle BAC + 180^{\circ}-\angle BAC = 360^{\circ}$，$\angle EAB = 90^{\circ}$，$\angle GBA+\angle EAB+\angle EAF+\angle BAF = 360^{\circ}$，可得$\angle EAF+\angle ABG = \angle EAB+\angle BAF+\angle ABG+\angle BAG$，即$\angle EAF=\angle ABG + \angle BAG$（通过角的等量代换）。
又因为$AB = AE$，
在$\triangle ABG$和$\triangle EAF$中，$\begin{cases}AB = AE\\BG = AF\\\angle ABG=\angle EAF\end{cases}$，根据$SAS$（边角边）定理可得$\triangle ABG\cong\triangle EAF$。
所以$EF = AG$，又因为$AG = AD + DG = 2AD$，所以$EF = 2AD$。
延长$AD$到$G$，使$DG = AD$，连接$BG$。
因为$AD$是$\triangle ABC$的中线，所以$BD = CD$。
在$\triangle BDG$和$\triangle CDA$中，$\begin{cases}BD = CD\\\angle BDG=\angle CDA\\DG = DA\end{cases}$，根据$SAS$（边角边）定理可得$\triangle BDG\cong\triangle CDA$。
所以$BG = AC$，$\angle GBD=\angle ACD$。
因为$AC = AF$，所以$BG = AF$。
$\angle EAF=\angle BAE+\angle BAC+\angle CAF = 90^{\circ}+\angle BAC + 90^{\circ}=180^{\circ}+\angle BAC$。
$\angle ABG=\angle ABD+\angle GBD=\angle ABD+\angle ACD$，又因为$\angle BAC + \angle ABD+\angle ACD=180^{\circ}$，所以$\angle ABG = 180^{\circ}-\angle BAC$，那么$\angle EAF+\angle ABG=180^{\circ}+\angle BAC + 180^{\circ}-\angle BAC = 360^{\circ}$，$\angle EAB = 90^{\circ}$，$\angle GBA+\angle EAB+\angle EAF+\angle BAF = 360^{\circ}$，可得$\angle EAF+\angle ABG = \angle EAB+\angle BAF+\angle ABG+\angle BAG$，即$\angle EAF=\angle ABG + \angle BAG$（通过角的等量代换）。
又因为$AB = AE$，
在$\triangle ABG$和$\triangle EAF$中，$\begin{cases}AB = AE\\BG = AF\\\angle ABG=\angle EAF\end{cases}$，根据$SAS$（边角边）定理可得$\triangle ABG\cong\triangle EAF$。
所以$EF = AG$，又因为$AG = AD + DG = 2AD$，所以$EF = 2AD$。
3. 如图,AD是△ABC的中线,点E,F分别在边AB,AC上,且DE⊥DF。求证：BE+CF＞EF。
答案：
1. 首先，延长$FD$到点$G$，使$DG = DF$，连接$BG$、$EG$：
因为$AD$是$\triangle ABC$的中线，所以$BD = CD$。
在$\triangle BDG$和$\triangle CDF$中：
$\left\{\begin{array}{l}BD = CD\\\angle BDG=\angle CDF\\DG = DF\end{array}\right.$。
根据$SAS$（边角边）定理，可得$\triangle BDG\cong\triangle CDF$。
由全等三角形的性质可知$BG = CF$。
2. 然后，因为$DE\perp DF$，$DG = DF$：
根据线段垂直平分线的性质（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等），$DE$是线段$FG$的垂直平分线，所以$EF = EG$。
3. 最后，在$\triangle BEG$中：
根据三角形三边关系（三角形任意两边之和大于第三边），$BE + BG＞EG$。
又因为$BG = CF$，$EG = EF$，所以$BE + CF＞EF$。
综上，$BE + CF＞EF$得证。
因为$AD$是$\triangle ABC$的中线，所以$BD = CD$。
在$\triangle BDG$和$\triangle CDF$中：
$\left\{\begin{array}{l}BD = CD\\\angle BDG=\angle CDF\\DG = DF\end{array}\right.$。
根据$SAS$（边角边）定理，可得$\triangle BDG\cong\triangle CDF$。
由全等三角形的性质可知$BG = CF$。
2. 然后，因为$DE\perp DF$，$DG = DF$：
根据线段垂直平分线的性质（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等），$DE$是线段$FG$的垂直平分线，所以$EF = EG$。
3. 最后，在$\triangle BEG$中：
根据三角形三边关系（三角形任意两边之和大于第三边），$BE + BG＞EG$。
又因为$BG = CF$，$EG = EF$，所以$BE + CF＞EF$。
综上，$BE + CF＞EF$得证。
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