《2025年启东中学作业本八年级数学上册苏科版盐城专版》

1. 在如图所示的方格纸中,建立平面直角坐标系,点 A 的坐标为$(3,4)$,若$\triangle OAB$是以 OA 为腰的等腰三角形,B 为格点且在 x 轴上,则满足条件的点 B 的坐标为(6,0),(5,0),(−5,0)。

答案： (6,0),(5,0),(−5,0)

2. 如图,在$\triangle ABC$中,$AB= AC= 10$,$BC= 12$,D,E 分别是边 BC,AB 的中点,P 是 BC 边上的动点(不与点 B,C 重合)。设$BP= x$,当$\triangle BPE$是等腰三角形(BE 为腰)时,x 的值为5或6。

答案： 5或6

3. 如图,在$\triangle ABC$中,$∠B= 90^{\circ}$,$AB= 16cm$,$BC= 12cm$,P,Q 是$\triangle ABC$边上的两个动点,其中点 P 从点 A 开始沿$A→B$方向运动,速度为$1cm/s$,点 Q 从点 B 开始沿$B→C→A$方向运动,速度为$2cm/s$,它们同时出发,设运动的时间为$t s$。
(1)当点 Q 在边 BC 上运动时,出发几秒钟后,$\triangle PQB$能成为等腰三角形?
(2)当点 Q 在边 CA 上运动时,求能使$\triangle BCQ$成为等腰三角形的 t 的值。

答案：
解:
(1)由题意,得BQ=2t cm,AP=t cm,则BP=(16 - t)cm.
∵∠B=90°,
∴△PQB是等腰三角形时,BP=BQ,即16 - t=2t,解得t=$\frac{16}{3}$,
即出发$\frac{16}{3}$ s后,△PQB能成为等腰三角形.
(2)
∵AB=16 cm,BC=12 cm,∠ABC=90°,
∴AC=20 cm.
①当CQ=BQ时,如答图①所示,则∠C=∠CBQ,
∵∠ABC=90°,
∴∠CBQ+∠ABQ=90°,∠A+∠C=90°,
∴∠A=∠ABQ,
∴BQ=AQ,
∴CQ=AQ=10 cm,
∴BC+CQ=22 cm,
∴t=22÷2=11.

②当CQ=BC时,如答图②所示,则BC+CQ=24 cm,
∴t=24÷2=12.
③当BC=BQ时,如答图③所示,过点B作BE⊥AC于点E,则BE=$\frac{AB \cdot BC}{AC}$=$\frac{16×12}{20}$=$\frac{48}{5}$(cm),
∴CE²=BC² - BE²=12² - ($\frac{48}{5}$)²=$\frac{1296}{25}$,
∴CE=$\frac{36}{5}$ cm,
∴CQ=2CE=14.4 cm,
∴BC+CQ=26.4 cm,
∴t=26.4÷2=13.2.
综上所述,当t的值为11或12或13.2时,△BCQ为等腰三角形.