《2025年启东中学作业本八年级数学上册苏科版盐城专版》

1. 如图,直线$y= -x+2与x$轴,$y轴分别交于点A和点B$,直线$y= kx+b(k≠0)经过点C(1,0)$,且把$\triangle AOB$分成两部分。
(1)若$\triangle AOB$被分成的两部分面积相等,求$k和b$的值；
(2)若$\triangle AOB被分成的两部分面积之比为1:5$,求$k和b$的值。

答案： 1. （1）
首先求$A$、$B$两点坐标：
对于$y = -x + 2$，令$y = 0$，则$0=-x + 2$，解得$x = 2$，所以$A(2,0)$；令$x = 0$，则$y=2$，所以$B(0,2)$。
因为$C(1,0)$，$OA = 2$，$OB = 2$，$S_{\triangle AOB}=\frac{1}{2}× OA× OB=\frac{1}{2}×2×2 = 2$。
当直线$y = kx + b$把$\triangle AOB$分成面积相等的两部分时，直线$y = kx + b$过点$B(0,2)$和$C(1,0)$。
把$C(1,0)$，$B(0,2)$代入$y = kx + b$得$\begin{cases}k + b=0\\b = 2\end{cases}$。
把$b = 2$代入$k + b=0$，得$k=-2$。
2. （2）
设直线$y = kx + b$与$OB$交于点$D(0,m)$。
由$S_{\triangle AOB}=2$，当$S_{\triangle OCD}:S_{四边形ACDB}=1:5$时，$S_{\triangle OCD}=\frac{1}{6}S_{\triangle AOB}=\frac{1}{3}$。
因为$S_{\triangle OCD}=\frac{1}{2}× OC× OD$，$OC = 1$，所以$\frac{1}{2}×1× m=\frac{1}{3}$，解得$m=\frac{2}{3}$。
把$C(1,0)$，$D(0,\frac{2}{3})$代入$y = kx + b$得$\begin{cases}k + b=0\\b=\frac{2}{3}\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=-\frac{2}{3}\\b=\frac{2}{3}\end{cases}$。
当$S_{\triangle OCD}:S_{四边形ACDB}=5:1$时，$S_{\triangle OCD}=\frac{5}{6}S_{\triangle AOB}=\frac{5}{3}$。
因为$S_{\triangle OCD}=\frac{1}{2}× OC× OD$，$OC = 1$，所以$\frac{1}{2}×1× m=\frac{5}{3}$，解得$m=\frac{10}{3}$（舍去，因为$B(0,2)$，$m\leqslant2$）。
设直线$y = kx + b$与$AB$交于点$E(x_{1},y_{1})$。
由$S_{\triangle ACE}:S_{四边形CEOB}=1:5$，$S_{\triangle ACE}=\frac{1}{6}S_{\triangle AOB}=\frac{1}{3}$。
$S_{\triangle ACE}=\frac{1}{2}× AC× y_{1}$，$AC=2 - 1=1$，则$\frac{1}{2}×1× y_{1}=\frac{1}{3}$，解得$y_{1}=\frac{2}{3}$。
把$y=\frac{2}{3}$代入$y=-x + 2$得$\frac{2}{3}=-x + 2$，解得$x=\frac{4}{3}$，即$E(\frac{4}{3},\frac{2}{3})$。
把$C(1,0)$，$E(\frac{4}{3},\frac{2}{3})$代入$y = kx + b$得$\begin{cases}k + b=0\\frac{4}{3}k + b=\frac{2}{3}\end{cases}$。
用$\frac{4}{3}k + b=\frac{2}{3}$减去$k + b=0$得：$\frac{4}{3}k + b-(k + b)=\frac{2}{3}-0$，$\frac{4}{3}k + b - k - b=\frac{2}{3}$，$\frac{1}{3}k=\frac{2}{3}$，解得$k = 2$。
把$k = 2$代入$k + b=0$得$b=-2$。
综上：
(1) $k=-2$，$b = 2$；
(2) $k = 2$，$b=-2$或$k=-\frac{2}{3}$，$b=\frac{2}{3}$。

2. 如图,在平面直角坐标系$xOy$中,直线$y= \frac{4}{3}x+4分别与x$轴,$y轴交于点A$,$B$。第一象限内有一点$P(m,n)$,正实数$m$,$n满足4m+3n= 12$。连接$AP$,$PO$。
(1)$\triangle APO的面积能否等于7$？为什么？
(2)射线$AP平分∠BAO$时,求代数式$5m+n$的值；
(3)若点$A'与点A关于y$轴对称,点$C在x$轴上,且$2∠CBO+∠PA'O= 90^{\circ}$,小慧演算后发现$\triangle ACP的面积不可能等于7$。请分析并评价小慧的发现是否正确,并说明理由。

答案：
1. （1）
首先求$A$点坐标：
对于直线$y = \frac{4}{3}x + 4$，令$y = 0$，则$\frac{4}{3}x+4 = 0$，解得$x=-3$，所以$A(-3,0)$，$OA = 3$。
根据三角形面积公式$S_{\triangle APO}=\frac{1}{2}OA\cdot n$（$n$为$P$点纵坐标），已知$S_{\triangle APO}=\frac{1}{2}×3× n$。
若$S_{\triangle APO}=7$，则$\frac{3}{2}n = 7$，解得$n=\frac{14}{3}$。
把$n = \frac{14}{3}$代入$4m + 3n=12$，得$4m+3×\frac{14}{3}=12$，即$4m+14 = 12$，$4m=-2$，$m =-\frac{1}{2}$。
因为$m$是正实数，所以$\triangle APO$的面积不能等于$7$。
2. （2）
(2)设AP与y轴交于点E,过点E作EF⊥AB于点F,如答图①所示.

当x=0时,y=$\frac{4}{3}$x+4=4,
∴点B的坐标为(0,4),
∴OB=4,
∴AB=√OA²+OB²=5.
∵AP平分∠BAO,
∴EO=EF;
∵SABE=$\frac{1}{2}$BE.OA=$\frac{1}{2}$AB.EF,SAE=$\frac{1}{2}$EO.OA,
∴SABE:S△AOE=AB:OA=BE:EO,
即5:3=(4−EO):EO,
∴EO=$\frac{3}{2}$
∴点E的坐标为(0,$\frac{3}{2}$).
设直线AP的函数表达式为y=kx+b(k≠0),
将A(−3,0),E(0，,$\frac{3}{2}$)代入，得$\begin{cases}{-3k+b=0 } \\ {b=\frac{3}{2}} \end{cases}$
解得k=\frac{1}{2},b=\frac{3}{2}
∴直线AP的函数表达式为y=$\frac{1}{2}$x+$\frac{3}{2}$.
将P(m,n)代入,得n=$\frac{1}{2}$m+$\frac{3}{2}$,
联立$\begin{cases}{n=\frac{1}{2}m+\frac{3}{2} } \\ {4m+3n=12} \end{cases}$
$解得m=\frac{15}{11},n=\frac{24}{11}$
∴5m+n=9
3. （3）
因为点$A'$与点$A(-3,0)$关于$y$轴对称，所以$A'(3,0)$。
设$\angle CBO=\alpha$，则$2\alpha+\angle PA'O = 90^{\circ}$，$\angle PA'O = 90^{\circ}-2\alpha$。
因为$\angle OBC+\angle OCB = 90^{\circ}$，$\angle OCB = 90^{\circ}-\alpha$。
过点$P$作$PH\perp x$轴于$H$，$S_{\triangle ACP}=\frac{1}{2}AC\cdot n$。
由$4m + 3n=12$得$n = 4-\frac{4}{3}m$。
$AC=\vert x_{C}+3\vert$，$S_{\triangle ACP}=\frac{1}{2}\vert x_{C}+3\vert\cdot(4 - \frac{4}{3}m)$。
假设$S_{\triangle ACP}=7$，则$\vert x_{C}+3\vert\cdot(4-\frac{4}{3}m)=14$。
又因为$n = 4-\frac{4}{3}m＞0$（$P$在第一象限），$m＞0$，$0\lt m＜3$。
$S_{\triangle ACP}=\frac{1}{2}(x_{C}+3)n$（不妨设$x_{C}\geqslant - 3$），$S_{\triangle ACP}=\frac{1}{2}(x_{C}+3)(4-\frac{4}{3}m)$。
由$4m + 3n=12$，$n = 4-\frac{4}{3}m$，$S_{\triangle ACP}=\frac{1}{2}(x_{C}+3)×\frac{12 - 4m}{3}$。
若$S_{\triangle ACP}=7$，则$(x_{C}+3)(12 - 4m)=42$，$x_{C}+3=\frac{42}{12 - 4m}=\frac{21}{6 - 2m}$。
当$m=\frac{3}{2}$时，$n = 2$，$S_{\triangle ACP}=\frac{1}{2}(x_{C}+3)×2=\vert x_{C}+3\vert$。
把$m=\frac{3}{2}$代入$4m + 3n=12$成立，若$S_{\triangle ACP}=7$，则$x_{C}=4$或$x_{C}=-10$。
所以小慧的发现不正确。
综上：
（1）$\triangle APO$的面积不能等于$7$，理由：若$S_{\triangle APO}=7$，求得$m =-\frac{1}{2}$，不满足$m$是正实数；
（2）$5m + n=\frac{87}{8}$；
（3）小慧的发现不正确，理由：存在$m$，$n$（如$m=\frac{3}{2}$，$n = 2$）和$x_{C}$（如$x_{C}=4$或$x_{C}=-10$）使得$\triangle ACP$的面积等于$7$。