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1. 如图,线段AB,DE的垂直平分线交于点C,且∠ABC= ∠EDC= 72°,∠AEB= 92°,则∠EBD的度数为(
A.168°
B.158°
C.128°
D.118°
C
)A.168°
B.158°
C.128°
D.118°
答案：
C
2. 在△ABC中,AB的垂直平分线分别交AB,BC于点D,E,AC的垂直平分线分别交AC,BC于点F,G,若∠EAG= 30°,则∠BAC= ______
75°或105°
。
答案：
75°或105°
3. 如图,在△ABC中,AB边的垂直平分线$l_1$交BC于点D,AC边的垂直平分线$l_2$交BC于点$E,l_1$与$l_2$相交于点O。若∠ACB= 45°,DE= 3,BD= CE+1。
(1)求边BC的长；
(2)连接OA,OB,OC,若△OBC的周长为28,求OA的长。
(1)求边BC的长；
(2)连接OA,OB,OC,若△OBC的周长为28,求OA的长。
答案：
1. （1）
因为$l_1$是$AB$边的垂直平分线，所以$DA = DB$；因为$l_2$是$AC$边的垂直平分线，所以$EA=EC$。
设$CE=x$，则$BD = x + 1$，$DA=x + 1$，$EA=x$。
因为$\angle ACB = 45^{\circ}$，$EA = EC$，所以$\angle EAC=\angle ACB = 45^{\circ}$，则$\angle AEC=180^{\circ}-\angle EAC-\angle ACB=90^{\circ}$。
在$Rt\triangle ADE$中，根据勾股定理$DA^{2}=DE^{2}+EA^{2}$。
已知$DE = 3$，$DA=x + 1$，$EA=x$，代入可得$(x + 1)^{2}=3^{2}+x^{2}$。
展开式子：$x^{2}+2x + 1=9+x^{2}$。
移项：$x^{2}+2x-x^{2}=9 - 1$，即$2x=8$，解得$x = 4$。
所以$BD=x + 1=5$，$CE=x = 4$。
则$BC=BD + DE+CE=5 + 3+4=12$。
2. （2）
因为$l_1$是$AB$边的垂直平分线，所以$OA = OB$；因为$l_2$是$AC$边的垂直平分线，所以$OA = OC$，即$OB = OC=OA$。
已知$\triangle OBC$的周长为$28$，即$OB + OC+BC=28$。
由（1）知$BC = 12$，设$OA=y$，则$2y+12=28$。
移项可得$2y=28 - 12$，即$2y=16$，解得$y = 8$，所以$OA = 8$。
综上，（1）$BC$的长为$12$；（2）$OA$的长为$8$。
因为$l_1$是$AB$边的垂直平分线，所以$DA = DB$；因为$l_2$是$AC$边的垂直平分线，所以$EA=EC$。
设$CE=x$，则$BD = x + 1$，$DA=x + 1$，$EA=x$。
因为$\angle ACB = 45^{\circ}$，$EA = EC$，所以$\angle EAC=\angle ACB = 45^{\circ}$，则$\angle AEC=180^{\circ}-\angle EAC-\angle ACB=90^{\circ}$。
在$Rt\triangle ADE$中，根据勾股定理$DA^{2}=DE^{2}+EA^{2}$。
已知$DE = 3$，$DA=x + 1$，$EA=x$，代入可得$(x + 1)^{2}=3^{2}+x^{2}$。
展开式子：$x^{2}+2x + 1=9+x^{2}$。
移项：$x^{2}+2x-x^{2}=9 - 1$，即$2x=8$，解得$x = 4$。
所以$BD=x + 1=5$，$CE=x = 4$。
则$BC=BD + DE+CE=5 + 3+4=12$。
2. （2）
因为$l_1$是$AB$边的垂直平分线，所以$OA = OB$；因为$l_2$是$AC$边的垂直平分线，所以$OA = OC$，即$OB = OC=OA$。
已知$\triangle OBC$的周长为$28$，即$OB + OC+BC=28$。
由（1）知$BC = 12$，设$OA=y$，则$2y+12=28$。
移项可得$2y=28 - 12$，即$2y=16$，解得$y = 8$，所以$OA = 8$。
综上，（1）$BC$的长为$12$；（2）$OA$的长为$8$。
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