《2025年文轩图书假期生活指导暑七年级数学》

1. 阅读材料:善于思考的小军在解方程组
$\begin{cases}2x + 5y = 3, & ① \\4x + 11y = 5 & ②\end{cases} $
时,采用了一种“整体代换”的解法:
解:将方程②变形:$4x + 10y + y = 5$,即$2(2x + 5y) + y = 5$ ③.
把方程①代入③得:$2×3 + y = 5$,
$\therefore y = -1$,
所以$y = -1$代入①得$x = 4$,
$\therefore$方程组的解为
$\begin{cases}x = 4, \\y = -1.\end{cases} $
请你解决以下问题:
(1)模仿小军的“整体代换”法解方程组
$\begin{cases}3x - 2y = 5, & ① \\9x - 4y = 19. & ②\end{cases} $
(2)已知$x$, $y$满足方程组
$\begin{cases}3x^2 - 2xy + 12y^2 = 47, & ① \\2x^2 + xy + 8y^2 = 36, & ②\end{cases} $
求$x^2 + 4y^2$的值.

答案： 1. 解:
(1) 将方程②变形: $3x + 6x - 4y = 19$ 即 $3x + 2(3x - 2y) = 19$ ③, 把方程①代入③得: $3x + 10 = 19$, $\therefore x = 3$, 把 $x = 3$ 代入①得 $y = 2$,
$\therefore$ 方程组的解为 $\begin{cases}x = 3\\y = 2\end{cases}$;
(2) ① $+ 2×$ ②得到, $7x^{2}+28y^{2}=119$,
$\therefore x^{2}+4y^{2}=17$.

2. 阅读下列材料,解方程组
$\begin{cases}18x + 17y = 16, \\17x + 16y = 15\end{cases} $
时,如果我们直接消元,那么会很麻烦,但若用下面的解法,则要简便很多.
解方程组
$\begin{cases}18x + 17y = 16, & ① \\17x + 16y = 15. & ②\end{cases} $
解:① - ②,得$x + y = 1$, ③
③×16,得$16x + 16y = 16$, ④
② - ④,得$x = -1$,
将$x = -1$代入③,得$y = 2$,
所以原方程组的解是
$\begin{cases}x = -1, \\y = 2.\end{cases} $
根据上述材料,解答下列问题.
(1)解方程组
$\begin{cases}2021x + 2020y = 2019, & ① \\2019x + 2018y = 2017. & ②\end{cases} $
(2)在(1)的条件下,求式子$x^2 + xy + y^2$的平方根.

答案： 2. 解:
(1) ① $ -$ ②, 得 $2x + 2y = 2$,
即 $x + y = 1$, ③
③ $×2018$, 得 $2018x + 2018y = 2018$, ④
② $ -$ ④, 得 $x = -1$, 将 $x = -1$ 代入③, 得 $y = 2$,
所以原方程组的解是 $\begin{cases}x = -1,\\y = 2.\end{cases}$
(2) $x^{2}+xy + y^{2}$
$=(-1)^{2}+(-1)×2 + 2^{2}$
$=1 - 2 + 4$
$=3$.
所以 $x^{2}+xy + y^{2}$ 的平方根为 $\pm\sqrt{3}$.