《2025年文轩图书假期生活指导暑七年级数学》

例1 若$a＞b-1$,则下列结论一定正确的是(D)
A.$a+1＜b$
B.$a-1＜b$
C.$a＞b$
D.$a+1＞b$
 

答案： 解：已知$a ＞ b - 1$，不等式两边同时加$1$，不等号方向不变，得$a + 1 ＞ b$。
A选项：$a + 1 ＜ b$与$a + 1 ＞ b$矛盾，错误；
B选项：$a - 1 ＜ b$无法由已知推出，例如$a = 3$，$b = 3$时，$3 ＞ 3 - 1$成立，但$3 - 1 = 2 ＜ 3$，若$a = 5$，$b = 3$，$5 ＞ 3 - 1$成立，$5 - 1 = 4 ＞ 3$，所以B选项不一定正确；
C选项：$a ＞ b$不一定成立，例如$a = 1$，$b = 1.5$，$1 ＞ 1.5 - 1 = 0.5$成立，但$1 ＜ 1.5$；
D选项：由上述推理可知$a + 1 ＞ b$一定正确。
答案：D

1. 如果$x＞y$,那么下列正确的是(C)
A.$x+5\leqslant y+5$
B.$x-5＜y-5$
C.$5x＞5y$
D.$-5x＞-5y$

答案： 解：
A. 因为$x＞y$，两边同时加5，不等号方向不变，所以$x + 5＞y + 5$，A选项错误。
B. 因为$x＞y$，两边同时减5，不等号方向不变，所以$x - 5＞y - 5$，B选项错误。
C. 因为$x＞y$，两边同时乘5（正数），不等号方向不变，所以$5x＞5y$，C选项正确。
D. 因为$x＞y$，两边同时乘$-5$（负数），不等号方向改变，所以$-5x＜-5y$，D选项错误。
结论：C

例2 (1)不等式$x+1\geqslant 2$的解集在数轴上表示正确的是(A)
 

(2)解不等式组:
$\left\{\begin{array}{l} 3(x-1)＜4+2x,\\ \frac {x-9}{5}＜2x.\end{array} \right. $
 
$-1\lt x\lt7$

答案： 【解析】：
（1）本题主要考查一元一次不等式的解集在数轴上的表示方法。
对于不等式$x + 1\geqslant2$，
移项可得$x\geqslant2 - 1$，
即$x\geqslant1$。
在数轴上表示$x\geqslant1$时，
应在$1$这个点处用实心圆点（因为包含$1$这个值），
然后向右画折线，表示$x$的取值大于等于$1$。
逐一分析选项：
A选项：在$1$处是实心圆点且向右画折线，符合$x\geqslant1$在数轴上的表示，该选项正确。
B选项：在$1$处是空心圆圈，表示不包含$1$，不符合$x\geqslant1$，该选项错误。
C选项：在$1$处是实心圆点但向左画折线，表示$x\leqslant1$，不符合$x\geqslant1$，该选项错误。
D选项：在$1$处是空心圆圈且向左画折线，既不包含$1$又表示$x\lt1$，不符合$x\geqslant1$，该选项错误。
所以，本题考查的知识点是一元一次不等式解集在数轴上的表示，方法是通过移项求出不等式的解集，再根据解集的特点判断在数轴上的正确表示。
（2）本题主要考查解不等式组的方法。
对于不等式组$\begin{cases}3(x - 1)\lt4 + 2x,\frac{x - 9}{5}\lt2x.\end{cases}$
解第一个不等式$3(x - 1)\lt4 + 2x$：
去括号得$3x-3\lt4 + 2x$，
移项得$3x - 2x\lt4 + 3$，
合并同类项得$x\lt7$。
解第二个不等式$\frac{x - 9}{5}\lt2x$：
去分母得$x - 9\lt10x$，
移项得$x-10x\lt9$，
合并同类项得$-9x\lt9$，
化系数为$1$得$x\gt - 1$。
综合两个不等式的解$x\lt7$和$x\gt - 1$，
根据“大小小大中间找”的原则，
可得不等式组的解集为$-1\lt x\lt7$。
本题考查的知识点是不等式组的解法，方法是通过解每个不等式，再根据口诀确定不等式组的解集。
【答案】：
(1)A；
(2)$-1\lt x\lt7$。

2. (1)不等式$2(x+3)＞-2$的解集是( )
A. $x＜-4$
B. $x＜2$
C. $x＞0$
D. $x＞-4$
(2)解不等式组:$\left\{\begin{array}{l} 3x-2＞1\\ \frac {2x-1}{3}＞x-2\end{array} \right. $,并把解集在数轴上表示出来.

答案：

(1)D
(2)解:$\left\{\begin{array}{l} 3x-2＞1①\\ \frac {2x-1}{3}＞x-2\end{array}\right. ,$
解不等式①得:$x＞1;$
解不等式②得:$x＜5,$
所以不等式组的解集为:$1＜x＜5.$
数轴表示如下:

例3 某快递企业为提高工作效率,拟购买A,B两种型号智能机器人进行快递分拣.相关信息如下:
信息一
|A 型机器人台数|B 型机器人台数|总费用/万元|
|1|3|260|
|3|2|360|
信息二
A 型机器人每台每天可分拣快递 22 万件;
B 型机器人每台每天可分拣快递 18 万件.
(1)求 A,B 两种型号智能机器人的单价;
(2)现该企业准备用不超过 700 万元购买A,B 两种型号智能机器人共 10 台.则该企业选择哪种购买方案,能使每天分拣快递的件数最多?
 

答案： 【解析】：
(1) 对于第一个问题，需要求出A型和B型智能机器人的单价。根据题目给出的两组数据，可以设立一个二元一次方程组来求解。设A型智能机器人的单价为$x$万元，B型智能机器人的单价为$y$万元，根据题目给出的购买信息和总费用，可以得到以下方程组：
$\left\{\begin{array}{l}x + 3y = 260, \\3x + 2y = 360.\end{array} \right.$
解这个方程组，可以得到：
$\left\{\begin{array}{l}x = 80, \\y = 60.\end{array} \right.$
所以，A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元。
(2) 对于第二个问题，需要找出在预算不超过700万元的情况下，如何购买A型和B型智能机器人，使得每天分拣的快递件数最多。设购买A型智能机器人$a$台，那么购买B型智能机器人就是$(10-a)$台。根据预算限制，可以得到不等式：
$80a + 60(10 - a) \leqslant 700$，
解这个不等式，可以得到$a$的取值范围：
$a \leqslant 5$，
由于A型机器人每台每天可以分拣22万件快递，B型机器人每台每天可以分拣18万件快递，所以每天分拣的快递件数可以表示为：
$22a + 18(10 - a) = 4a + 180$，
为了使每天分拣的快递件数最多，$a$应该取其最大值5。所以，当购买A型智能机器人5台，B型智能机器人5台时，每天分拣的快递件数最多，为200万件。
【答案】：
(1) A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元；
(2) 选择购买A型智能机器人5台，购买B型智能机器人5台，能使每天分拣快递的件数最多，最多为200万件。