《2025年文轩图书假期生活指导暑七年级数学》

24. 如图,已知点$A$,$E$,$B$在同一条直线上,设$\angle CED= x$,$\angle C+\angle D= y$.
(1)若$AB// CD$,试用含$x的式子表示y$,并写出$x$的取值范围；
(2)若$x= 90^{\circ}$,且$\angle AEC与\angle D$互余,求证：$AB// CD$.

答案：
(1) 解：$\because AB // CD$，$\therefore \angle AEC = \angle C$，$\angle BED = \angle D$。
$\because \angle C + \angle D = y$，$\therefore \angle AEC + \angle BED = y$。
$\because$ 点$A$，$E$，$B$在同一直线上，$\angle CED = x$，
$\therefore \angle AEC + \angle CED + \angle BED = 180^\circ$，即$y + x = 180^\circ$。
$\therefore y = 180^\circ - x$，$x$的取值范围是$0^\circ ＜ x ＜ 180^\circ$。
(2) 证明：$\because x = 90^\circ$，即$\angle CED = 90^\circ$，
$\therefore \angle AEC + \angle BED = 180^\circ - \angle CED = 90^\circ$。
$\because \angle AEC$与$\angle D$互余，$\therefore \angle AEC + \angle D = 90^\circ$。
$\therefore \angle BED = \angle D$，$\therefore AB // CD$。

25. 如图,在平面直角坐标系中,点$A$,$B的坐标分别为(0,a)$,$(b,0)$,其中$a$,$b$满足：$|2a-3-1|+\sqrt{2+2b-8}= 0$.
(1)求$A$,$B$两点的坐标；
(2)将线段$AB平移到CD$,点$A的对应点为C(-2,t)$,如图所示. 若三角形$ABC的面积为9$,求点$D$的坐标.

答案：
解：
(1) $\because|2a - 3 - 1| + \sqrt{2 + 2b - 8} = 0$，且$|2a - 3 - 1|\geq0$，$\sqrt{2 + 2b - 8}\geq0$，$\therefore 2a - 3 - 1 = 0$，$2 + 2b - 8 = 0$，解得$a = 2$，$b = 3$，$\therefore A$，$B$两点的坐标分别为$(0,2)$，$(3,0)$。
(2) 如图，三角形 $ABC$ 的面积 $=$ 长方形 $CMNT$ 的面积 $-$（三角形 $ANB$ 的面积 $+$ 三角形 $ACT$ 的面积 $+$ 三角形 $CMB$ 的面积）。 依题意有 $9 = 5×(2 + |t|) - [\frac{1}{2}×2×3 + \frac{1}{2}×2×(2 + |t|) + \frac{1}{2}×5×|t|]$，化简得$\frac{3}{2}|t| = 4$，解得$t = \pm\frac{8}{3}$，由题图可知$t ＜ 0$，$\therefore t = -\frac{8}{3}$，$\therefore C(-2,-\frac{8}{3})$，将点 $C$ 向下平移 $2$ 个单位长度，向右平移 $3$ 个单位长度得到点 $D$，$\therefore D(1,-\frac{14}{3})$。

26. 已知在平面直角坐标系中,点$A(a,b)满足\frac{1}{2}\sqrt{a-3}+(2-b)^2= 0$,$AB\perp x轴于点B$.


(1)分别求点$A$,$B$的坐标；
(2)如图1,若点$M在x$轴上,连接$MA$,使$S_{\triangle ABM}= 2$,求点$M$的坐标；
(3)如图2,$P是线段AB$所在直线上一动点,连接$OP$,$OE平分\angle PON$,交直线$AB于点E$,作$OF\perp OE$,请探究点$P在直线AB$上运动时,$\angle OPE与\angle FOP$的数量关系,并证明.

答案：
(1)解：
∵$\frac{1}{2}\sqrt{a - 3} + (2 - b)^2 = 0$，且$\frac{1}{2}\sqrt{a - 3} \geq 0$，$(2 - b)^2 \geq 0$，
∴$a - 3 = 0$，$2 - b = 0$，解得$a = 3$，$b = 2$，
∴点$A$的坐标为$(3, 2)$。
∵$AB\perp x$轴于点$B$，
∴点$B$的横坐标与点$A$相同，纵坐标为$0$，
∴点$B$的坐标为$(3, 0)$。
(2)解：设点$M$的坐标为$(m, 0)$。
∵点$A(3, 2)$，$B(3, 0)$，
∴$AB = 2$，$BM = |m - 3|$。
∵$S_{\triangle ABM} = 2$，
∴$\frac{1}{2}×AB×BM = 2$，即$\frac{1}{2}×2×|m - 3| = 2$，
解得$|m - 3| = 2$，$m = 3 + 2 = 5$或$m = 3 - 2 = 1$，
∴点$M$的坐标为$(5, 0)$或$(1, 0)$。
(3)解：$\angle OPE = 2\angle FOP$。
证明：
∵$OE$平分$\angle PON$，
∴$\angle POE = \angle NOE = \frac{1}{2}\angle PON$。
∵$AB\perp x$轴，$ON$为$x$轴正半轴，
∴$AB// ON$，
∴$\angle OPE + \angle PON = 180^{\circ}$，
∴$\angle OPE = 180^{\circ} - \angle PON = 180^{\circ} - 2\angle POE$。
∵$OF\perp OE$，
∴$\angle FOE = 90^{\circ}$，
∴$\angle FOP = \angle FOE - \angle POE = 90^{\circ} - \angle POE$，
∴$2\angle FOP = 180^{\circ} - 2\angle POE$，
∴$\angle OPE = 2\angle FOP$。