《2025年文轩图书假期生活指导暑七年级数学》

例 2 若 $\begin{cases}x = 2\\y = -1\end{cases} $ 是方程 $x + ay = 3$ 的一个解,则 $a$ 的值为-1。

答案： 【解析】：
本题考查二元一次方程的知识点。
题目给出了一个方程 $x + ay = 3$ 和一组解 $x = 2, y = -1$，要求求解待定系数 $a$。
根据方法总结，我们将已知的解代入原方程中，即：
$2 + a(-1) = 3$
然后解这个关于 $a$ 的一元一次方程。
【答案】：
将 $x = 2, y = -1$ 代入方程 $x + ay = 3$，得到：
$2 - a = 3$
移项得：
$-a = 1$
从而解得：
$a = -1$
故答案为：$-1$。

2. 已知 $\begin{cases}x = -2\\y = 1\end{cases} $ 是关于 $x$,$y$ 的二元一次方程 $2kx + y = 4$ 的解,则 $k$ 的值为$-\frac{3}{4}$。

答案： 解：将$\begin{cases}x = -2\\y = 1\end{cases}$代入方程$2kx + y = 4$，得$2k×(-2) + 1 = 4$。
计算得：$-4k + 1 = 4$。
移项：$-4k = 4 - 1$，即$-4k = 3$。
解得：$k = -\frac{3}{4}$。
$-\frac{3}{4}$

例 3 解方程组：$\begin{cases}x + 2y = 3\\x - 2y = 1\end{cases} $
 

答案： 【解析】：
题目考查的是二元一次方程组的解法，特别是加减消元法的应用。
首先，我们有方程组：
$\begin{cases}x + 2y = 3 \quad (①) \\x - 2y = 1 \quad (②)\end{cases}$， 
利用加减消元法，将方程①和方程②相加，消去$y$，得到：
$2x = 4$，
解得：
$x = 2$，
接着，将方程①和方程②相减，消去$x$，得到：
$4y = 2$，
解得：
$y = \frac{1}{2}$，
所以，方程组的解为：
$\begin{cases}x = 2 \\y = \frac{1}{2}\end{cases}$。
【答案】：
$\begin{cases}x = 2 \\y = \frac{1}{2}\end{cases}$。

3. 如果方程组 $\begin{cases}2x + 3y = 7\\y = 2x - 3\end{cases} $ 的解也是方程 $3x + my - 8 = 0$ 的一个解,则 $m$ 的值为2。

答案： 解：将 $y = 2x - 3$ 代入 $2x + 3y = 7$，得
$2x + 3(2x - 3) = 7$
$2x + 6x - 9 = 7$
$8x = 16$
$x = 2$
将 $x = 2$ 代入 $y = 2x - 3$，得
$y = 2×2 - 3 = 1$
将 $x = 2$，$y = 1$ 代入 $3x + my - 8 = 0$，得
$3×2 + m×1 - 8 = 0$
$6 + m - 8 = 0$
$m = 2$
2

4. 解方程组：$\begin{cases}2x - y = 5\\4x + 3y = -10\end{cases} $。

答案： 解：$\begin{cases}2x - y = 5①\\4x + 3y = -10②\end{cases}$
①×3 + ②得：$6x - 3y + 4x + 3y = 15 - 10$
$10x = 5$
解得：$x = \frac{1}{2}$
把$x = \frac{1}{2}$代入①得：$2×\frac{1}{2} - y = 5$
$1 - y = 5$
解得：$y = -4$
所以方程组的解是$\begin{cases}x = \frac{1}{2}\\y = -4\end{cases}$

例 4 端午节是中国传统节日,人们有吃粽子的习俗。某商店售卖某品牌瘦肉粽和五花肉粽。请依据以下对话,求促销活动前每个瘦肉粽、五花肉粽的售价。

 

答案： 【解析】：本题可根据题目所给信息，通过设未知数，利用促销活动的价格关系列出方程组，进而求解出促销活动前每个瘦肉粽、五花肉粽的售价。
步骤一：审题
已知商店开展促销活动，所有粽子都打$8$折，买$10$个瘦肉粽和$5$个五花肉粽只需$160$元，且促销活动前每个瘦肉粽比每个五花肉粽贵$5$元。要求的是促销活动前每个瘦肉粽、五花肉粽的售价。
步骤二：设未知数
设促销活动前每个瘦肉粽、五花肉粽的售价分别为$x$元、$y$元。
步骤三：找等量关系
根据“促销活动前每个瘦肉粽比每个五花肉粽贵$5$元”，可得到等量关系：瘦肉粽的售价$-$五花肉粽的售价$ = 5$，即$x - y = 5$。
根据“所有粽子都打$8$折，买$10$个瘦肉粽和$5$个五花肉粽只需$160$元”，可得到等量关系：（$10$个瘦肉粽的原价$ + 5$个五花肉粽的原价）$× 0.8 = 160$，即$(10x + 5y)× 0.8 = 160$。
步骤四：列方程组
根据上述两个等量关系，可列出方程组$\begin{cases}(10x + 5y)× 0.8 = 160\\x - y = 5\end{cases}$。
步骤五：解方程组
对$(10x + 5y)× 0.8 = 160$进行化简：
$(10x + 5y)× 0.8 = 160$，两边同时除以$0.8$可得$10x + 5y = 200$，两边再同时除以$5$得到$2x + y = 40$。
联立方程组$\begin{cases}2x + y = 40\\x - y = 5\end{cases}$，将两个方程相加消去$y$：
$(2x + y)+(x - y)=40 + 5$，即$3x = 45$，解得$x = 15$。
将$x = 15$代入$x - y = 5$，可得$15 - y = 5$，解得$y = 10$。
步骤六：检验
将$x = 15$，$y = 10$代入原方程组$\begin{cases}(10x + 5y)× 0.8 = 160\\x - y = 5\end{cases}$中：
对于$(10x + 5y)× 0.8 = 160$，左边$=(10× 15 + 5× 10)× 0.8=(150 + 50)× 0.8 = 200× 0.8 = 160$，右边$= 160$，左边$=$右边。
对于$x - y = 5$，左边$= 15 - 10 = 5$，右边$= 5$，左边$=$右边。
所以$x = 15$，$y = 10$是原方程组的解，且符合实际问题。
步骤七：作答
写出答案，注意带上单位。
【答案】：解：设促销活动前每个瘦肉粽、五花肉粽的售价分别为$x$元、$y$元。
由题意得$\begin{cases}(10x + 5y)× 0.8 = 160\\x - y = 5\end{cases}$
解得$\begin{cases}x = 15\\y = 10\end{cases}$
答：促销活动前每个瘦肉粽、五花肉粽的售价分别为$15$元、$10$元。