《2025年文轩图书假期生活指导暑七年级数学》

1. 若关于x的不等式组$\left\{\begin{array}{l} 2x - 1 ＜ 5\\ x ＜ m + 1\end{array} \right.的解集为x ＜ 3$,则m的取值范围是 (B)
A.$m ＞ 2$
B.$m\geqslant 2$
C.$m ＜ 2$
D.$m\leqslant 2$

答案： 解：解不等式$2x - 1 ＜ 5$，得$2x ＜ 6$，$x ＜ 3$。
因为不等式组$\left\{\begin{array}{l}2x - 1 ＜ 5\\x ＜ m + 1\end{array}\right.$的解集为$x ＜ 3$，所以$m + 1\geq 3$，解得$m\geq 2$。
答案：B

2. 若关于x的不等式组$\left\{\begin{array}{l} 3x - a ＜ 2,\\ 2x - b ＞ 4\end{array} \right.的解集为-2 ＜ x ＜ 3$,求$a + b$的值.

答案： 解：解不等式$3x - a ＜ 2$，得$x ＜ \frac{a + 2}{3}$；
解不等式$2x - b ＞ 4$，得$x ＞ \frac{b + 4}{2}$。
因为不等式组的解集为$-2 ＜ x ＜ 3$，
所以$\frac{b + 4}{2} = -2$，$\frac{a + 2}{3} = 3$。
解得$b = -8$，$a = 7$。
则$a + b = 7 + (-8) = -1$。

3. 关于x的不等式组$\left\{\begin{array}{l} -\frac{1}{3}x ＞ \frac{2}{3} - x,\\ \frac{1}{2}x - 1 ＜ \frac{1}{2}(a - 2)\end{array} \right.$有且只有三个整数解,则a的最大值是 (C)
A.3
B.4
C.5
D.6

答案： 解：解不等式$-\frac{1}{3}x ＞ \frac{2}{3} - x$，
$-x ＞ 2 - 3x$，
$2x ＞ 2$，
$x ＞ 1$。
解不等式$\frac{1}{2}x - 1 ＜ \frac{1}{2}(a - 2)$，
$x - 2 ＜ a - 2$，
$x ＜ a$。
所以不等式组的解集为$1 ＜ x ＜ a$。
因为不等式组有且只有三个整数解，即2，3，4，
所以$4 ＜ a \leq 5$，则a的最大值是5。
答案：C

4. 若关于x的不等式组$\left\{\begin{array}{l} \frac{x - 2}{4} ＜ \frac{x - 1}{3},\\ 2x - m\leqslant 2 - x\end{array} \right.$有且只有两个整数解,求m的取值范围.

答案： 解：解不等式$\frac{x - 2}{4} ＜ \frac{x - 1}{3}$，
两边同乘12得：$3(x - 2) ＜ 4(x - 1)$，
去括号：$3x - 6 ＜ 4x - 4$，
移项：$3x - 4x ＜ -4 + 6$，
合并同类项：$-x ＜ 2$，
系数化为1：$x ＞ -2$。
解不等式$2x - m\leqslant 2 - x$，
移项：$2x + x\leqslant 2 + m$，
合并同类项：$3x\leqslant 2 + m$，
系数化为1：$x\leqslant \frac{m + 2}{3}$。
所以不等式组的解集为$-2 ＜ x\leqslant \frac{m + 2}{3}$。
因为不等式组有且只有两个整数解，所以整数解为$-1$，$0$。
则$0\leqslant \frac{m + 2}{3} ＜ 1$，
两边同乘3：$0\leqslant m + 2 ＜ 3$，
移项：$-2\leqslant m ＜ 1$。
故$m$的取值范围是$-2 \leq m ＜ 1$。

5. 若关于x的不等式组$\left\{\begin{array}{l} 5 - 3x\geqslant 0,\\ x - m\geqslant 0\end{array} \right.$有实数解,则实数m的取值范围是 (A)
A.$m\leqslant \frac{5}{3}$
B.$m ＜ \frac{5}{3}$
C.$m ＞ \frac{5}{3}$
D.$m\geqslant \frac{5}{3}$

答案： 解：解不等式$5 - 3x\geqslant 0$，得$x\leqslant \frac{5}{3}$；
解不等式$x - m\geqslant 0$，得$x\geqslant m$。
因为不等式组有实数解，所以$m\leqslant \frac{5}{3}$。
答案：A

6. 已知关于x的不等式组$\left\{\begin{array}{l} 2x + 3\geqslant x + m,\\ \frac{2x + 5}{3} - 3 ＜ 2 - x\end{array} \right.$无解,则$\frac{1}{m}$的取值范围是$0 ＜ \frac{1}{m}\leq \frac{1}{5}$.

答案： 解：解不等式$2x + 3\geq x + m$，得$x\geq m - 3$。
解不等式$\frac{2x + 5}{3} - 3 ＜ 2 - x$，
去分母得：$2x + 5 - 9 ＜ 6 - 3x$，
移项合并得：$5x ＜ 10$，
解得：$x ＜ 2$。
因为不等式组无解，所以$m - 3\geq 2$，
解得$m\geq 5$。
所以$0 ＜ \frac{1}{m}\leq \frac{1}{5}$。
$0 ＜ \frac{1}{m}\leq \frac{1}{5}$

7. 若实数a使关于x的不等式组$\left\{\begin{array}{l} -2 ＜ x - 1 ＜ 3,\\ x - a ＞ 0\end{array} \right.的解集为-1 ＜ x ＜ 4$,则实数a的取值范围为$a \leq -1$.

答案： 解：解不等式$-2 ＜ x - 1 ＜ 3$，得$-1 ＜ x ＜ 4$。
解不等式$x - a ＞ 0$，得$x ＞ a$。
因为不等式组的解集为$-1 ＜ x ＜ 4$，所以$a \leq -1$。
$a \leq -1$

8. 已知关于x,y的方程组$\left\{\begin{array}{l} x + y = 2a + 7,\\ x - 2y = 4a - 3\end{array} \right.$的解为正数,求非负整数a的值.

答案： 解：解方程组$\left\{\begin{array}{l} x + y = 2a + 7,\\ x - 2y = 4a - 3\end{array}\right.$
由第一个方程得：$x = 2a + 7 - y$，代入第二个方程：
$2a + 7 - y - 2y = 4a - 3$
$-3y = 2a - 10$
$y = \frac{10 - 2a}{3}$
将$y = \frac{10 - 2a}{3}$代入$x = 2a + 7 - y$：
$x = 2a + 7 - \frac{10 - 2a}{3} = \frac{6a + 21 - 10 + 2a}{3} = \frac{8a + 11}{3}$
因为解为正数，所以$\left\{\begin{array}{l} \frac{8a + 11}{3} ＞ 0,\\ \frac{10 - 2a}{3} ＞ 0\end{array}\right.$
解$\frac{8a + 11}{3} ＞ 0$：$8a + 11 ＞ 0$，$a ＞ -\frac{11}{8}$
解$\frac{10 - 2a}{3} ＞ 0$：$10 - 2a ＞ 0$，$a ＜ 5$
所以$-\frac{11}{8} ＜ a ＜ 5$，非负整数$a$的值为0,1,2,3,4。
答案：0,1,2,3,4