《2025年文轩图书假期生活指导暑七年级数学》

7. 计算$-1^{2026} ×(-2)^3-\left|\sqrt[3]{8}-\sqrt{9} ÷\left(-\frac{1}{5}\right)\right|$的值为(D)
A.3
B.-12
C.-13
D.13

答案： D

8. 正整数a,b分别满足$\sqrt[3]{53}＜a＜\sqrt[3]{98}, \sqrt{2}＜b＜\sqrt{7}$,则$b^a= $(D)
A.4
B.8
C.9
D.16

答案： 解：因为$3^3 = 27$，$4^3 = 64$，$5^3 = 125$，且$\sqrt[3]{53} ＜ a ＜ \sqrt[3]{98}$，所以$a = 4$。
因为$1^2 = 1$，$2^2 = 4$，$3^2 = 9$，且$\sqrt{2} ＜ b ＜ \sqrt{7}$，所以$b = 2$。
则$b^a = 2^4 = 16$。
答案：D

9. 在实数范围内定义一种新运算“*”,其规则是$a * b= a^2-b^2$,如果$(x+2) * 5= (x-5)(5+x)$,那么x的值是(A)
A.-1
B.1
C.46
D.-46

答案： 解：根据新运算规则 $a * b = a^2 - b^2$，可得
$(x + 2) * 5 = (x + 2)^2 - 5^2$。
已知 $(x + 2) * 5 = (x - 5)(5 + x)$，而 $(x - 5)(5 + x) = x^2 - 25$，
因此有 $(x + 2)^2 - 25 = x^2 - 25$。
展开左边：$x^2 + 4x + 4 - 25 = x^2 - 25$，
化简得：$x^2 + 4x - 21 = x^2 - 25$。
移项、合并同类项：$4x = -4$，
解得：$x = -1$。
答案：A

10. 在解决数学实际问题时,常常用到数形结合思想,比如：$|x+1|$的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数-1的点的距离,$|x-2|$的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数2的点的距离. 当$|x+1|+|x-2|$取得最小值时,x的取值范围是(C)
A.$x \leqslant-1$
B.$x \leqslant-1或x \geqslant 2$
C.$-1 \leqslant x \leqslant 2$
D.$x \geqslant 2$

答案： 解：$|x+1|$表示数轴上点$x$与点$-1$的距离，$|x-2|$表示数轴上点$x$与点$2$的距离。
当$x ＜ -1$时，$|x+1|+|x-2|=-(x+1)-(x-2)=-2x+1$，值随$x$增大而减小；
当$-1 \leq x \leq 2$时，$|x+1|+|x-2|=(x+1)-(x-2)=3$，值为定值$3$；
当$x ＞ 2$时，$|x+1|+|x-2|=(x+1)+(x-2)=2x-1$，值随$x$增大而增大。
综上，当$-1 \leq x \leq 2$时，$|x+1|+|x-2|$取得最小值$3$。
答案：C

11. 计算：$\sqrt{16}= $4.

答案： 4

12. 计算：$\sqrt[3]{8}+(-1)^{2024}=$3.

答案： $\sqrt[3]{8}+(-1)^{2024}=2+1=3$

13. 我国古代数学家张衡将圆周率取值为$\sqrt{10}$,祖冲之给出圆周率的一种分数形式的近似值为$\frac{22}{7}$. 比较大小：$\sqrt{10}$＞$\frac{22}{7}$(填“＞”或“＜”).

答案： 解：因为$(\sqrt{10})^2 = 10$，$(\frac{22}{7})^2 = \frac{484}{49} \approx 9.8776$，而$10 ＞ 9.8776$，所以$\sqrt{10} ＞ \frac{22}{7}$。
＞

14. 若$|a-1|+(b-3)^2= 0$,则$\sqrt{a+b}= $2.

答案： 解：因为$|a - 1| + (b - 3)^2 = 0$，且$|a - 1| \geq 0$，$(b - 3)^2 \geq 0$，所以$a - 1 = 0$，$b - 3 = 0$，解得$a = 1$，$b = 3$。则$\sqrt{a + b} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2$。
2

15. 定义新运算：$(a, b) \cdot(c, d)= a c+b d$,其中a,b,c,d为实数,例如：$(1,2) \cdot(3,4)= 1 × 3+2 × 4= 11$. 如果$(2 x, 3) \cdot(3,-1)= 3$,那么$x= $1.

答案： 解：根据新运算定义，$(2x, 3) \cdot (3, -1) = 2x × 3 + 3 × (-1)$。
计算得：$6x - 3$。
已知该结果等于 3，所以$6x - 3 = 3$。
移项得：$6x = 3 + 3$，即$6x = 6$。
解得：$x = 1$。
1

16. 计算：
(1)计算：$|-2|-\sqrt{4}+3^2$；
(2)计算：$(-1) ×(-4)+2^2 ÷(7-5)$；
(3)计算：$-16 ÷ 2^2+\frac{1}{4} × 8+|2-\sqrt{3}|$.

答案： 解：
(1)原式$=2-2+9$
$=0+9$
$=9$
(2)原式$=(-1)×(-4)+4÷2$
$=4+2$
$=6$
(3)$-16÷2^{2}+\frac{1}{4}×8+|2-\sqrt{3}|$
$=-16÷4+2+2-\sqrt{3}$
$=-4+2+2-\sqrt{3}$
$=-\sqrt{3}$

17. 求下列各式中x的值：
(1)$5 x^2-10= 0$；
(2)$81(x-1)^2-25= 0$；
(3)$-64 x^3+1 \frac{1}{2}= \sqrt{6 \frac{1}{4}}$.

答案： $(1)$ 求解$5x^{2}-10 = 0$中$x$的值
解：
- 首先对$5x^{2}-10 = 0$进行移项：
$5x^{2}=10$。
- 然后两边同时除以$5$：
$x^{2}=\frac{10}{5}=2$。
- 根据平方根的定义，若$x^{2}=a(a\geq0)$，则$x = \pm\sqrt{a}$，所以$x=\pm\sqrt{2}$。
$(2)$ 求解$81(x - 1)^{2}-25 = 0$中$x$的值
解：
- 先移项：
$81(x - 1)^{2}=25$。
- 两边同时除以$81$：
$(x - 1)^{2}=\frac{25}{81}$。
- 根据平方根的定义，若$y^{2}=a(a\geq0)$，则$y=\pm\sqrt{a}$，这里$y=x - 1$，$a=\frac{25}{81}$，所以$x-1=\pm\sqrt{\frac{25}{81}}=\pm\frac{5}{9}$。
当$x - 1=\frac{5}{9}$时：
$x=\frac{5}{9}+1=\frac{5 + 9}{9}=\frac{14}{9}$。
当$x - 1=-\frac{5}{9}$时：
$x=-\frac{5}{9}+1=\frac{-5 + 9}{9}=\frac{4}{9}$。
$(3)$ 求解$-64x^{3}+1\frac{1}{2}=\sqrt{6\frac{1}{4}}$中$x$的值
解：
- 先化简$\sqrt{6\frac{1}{4}}=\sqrt{\frac{25}{4}}=\frac{5}{2}$，则原方程变为$-64x^{3}+1\frac{1}{2}=\frac{5}{2}$。
- 移项可得：
$-64x^{3}=\frac{5}{2}-1\frac{1}{2}$，$1\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$，所以$-64x^{3}=\frac{5}{2}-\frac{3}{2}=1$。
- 两边同时除以$-64$：
$x^{3}=\frac{1}{-64}=-\frac{1}{64}$。
- 根据立方根的定义，若$x^{3}=a$，则$x=\sqrt[3]{a}$，所以$x=\sqrt[3]{-\frac{1}{64}}=-\frac{1}{4}$。
综上，$(1)$$\boldsymbol{x=\pm\sqrt{2}}$；$(2)$$\boldsymbol{x=\frac{14}{9}}$或$\boldsymbol{x=\frac{4}{9}}$；$(3)$$\boldsymbol{x = -\frac{1}{4}}$。