《2025年智趣暑假作业八年级合订本》

1. 如图,在平行四边形$ABCD$中,$E是AD$边上的中点,连接$BE$,并延长$BE交CD的延长线于点F$.
(1) 证明：$FD= AB$；
(2) 当平行四边形$ABCD$的面积为8时,求$\triangle FED$的面积.

答案：
(2) $S_{\triangle FED}=2$

2. 如图,在$□ ABCD$中,$BD⊥AD$,$∠A= 45^{\circ }$,$E$,$F分别是AB$,$CD$上的点,且$BE= DF$,连接$EF交BD于O$.
(1) 求证：$BO= DO$；
(2) 若$EF⊥AB$,延长$EF交AD的延长线于G$,当$FG= 1$时,求$AD$的长.

答案： 1. （1）证明：
因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$AB// CD$。
则$\angle EBO=\angle FDO$，$\angle BEO=\angle DFO$（两直线平行，内错角相等）。
又因为$BE = DF$，所以$\triangle BEO\cong\triangle DFO(AAS)$（两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等）。
所以$BO = DO$（全等三角形的对应边相等）。
2. （2）解：
因为$BD\perp AD$，$\angle A = 45^{\circ}$，所以$\angle ABD=\angle A = 45^{\circ}$，则$\triangle ABD$是等腰直角三角形，$AD = BD$。
因为$EF\perp AB$，$AB// CD$，所以$\angle GFD=\angle GEA = 90^{\circ}$。
又因为$\angle A = 45^{\circ}$，所以$\angle G=\angle A = 45^{\circ}$，则$AE = GE$。
因为$\triangle BEO\cong\triangle DFO$，所以$OE = OF$。
因为$EF\perp AB$，$AB// CD$，所以$DF = FG = 1$（等角对等边）。
因为$\angle GFD = 90^{\circ}$，$\angle G = 45^{\circ}$，所以$DG=\sqrt{FG^{2}+DF^{2}}=\sqrt{1 + 1}=\sqrt{2}$（勾股定理），且$DE = GE$。
因为$AE = GE$，所以$AD=AE + DE=GE + DE=GF + EF+DE$，又$EF = 2OF = 2FG = 2$。
所以$AD=\sqrt{2}+2$。
综上，（1）已证$BO = DO$；（2）$AD$的长为$2+\sqrt{2}$。