《2025年文轩图书假期生活指导暑八年级数学通用版》

1. 将一组数$\sqrt {3},\sqrt {6},3,2\sqrt {3},\sqrt {15},...,3\sqrt {10}$,按下面的方式进行排列：$\sqrt {3},\sqrt {6},3,2\sqrt {3},\sqrt {15},3\sqrt {2}$；$\sqrt {21},2\sqrt {6},3\sqrt {3},\sqrt {30},\sqrt {33},6$；…若$2\sqrt {3}的位置记为(1,4),2\sqrt {6}的位置记为(2,2)$,则这组数中最大的有理数的位置记为(B)
A.$(5,2)$
B.$(5,3)$
C.$(6,2)$
D.$(6,5)$

答案： B

2. 如果$f(x)= \frac {x^{2}}{1+x^{2}}$,并且$f(\sqrt {1})$表示当$x= \sqrt {1}$时的值,即$f(\sqrt {1})= \frac {(\sqrt {1})^{2}}{1+(\sqrt {1})^{2}}= \frac {1}{2},f(\sqrt {\frac {1}{2}})$表示当$x= \sqrt {\frac {1}{2}}$时的值,即$f(\sqrt {\frac {1}{2}})= \frac {(\sqrt {\frac {1}{2}})^{2}}{1+(\sqrt {\frac {1}{2}})^{2}}= \frac {1}{3}$,那么$f(\sqrt {1})+f(\sqrt {2})+f(\sqrt {\frac {1}{2}})+f(\sqrt {3})+f(\sqrt {\frac {1}{3}})+... +f(\sqrt {n})+f(\sqrt {\frac {1}{n}})$的值是(A)
A.$n-\frac {1}{2}$
B.$n-\frac {3}{2}$
C.$n-\frac {5}{2}$
D.$n+\frac {1}{2}$

答案： A

3. 实践与探索
(1)填空：$\sqrt {3^{2}}=$3；$\sqrt {(-5)^{2}}=$5.
(2)观察第(1)的结果填空：当$a≥0$时,$\sqrt {a^{2}}=$a；当$a＜0$时,$\sqrt {a^{2}}=$-a.

(3)利用你总结的规律计算：$\sqrt {(x-2)^{2}}+\sqrt {(x-4)^{2}}$,其中$x$的取值范围在数轴上表示如图.
2

答案： 解:
(1) $\sqrt{3^{2}} = 3$，$\sqrt{(-5)^{2}} = 5$。
故答案为: $3$，$5$；
(2) 当 $a \geq 0$ 时，$\sqrt{a^{2}} = a$；
当 $a ＜ 0$ 时，$\sqrt{a^{2}} = -a$。
故答案为: $a$，$-a$；
(3) 由数轴可得 $x$ 的取值范围为 $2 ＜ x ＜ 4$，
∴ 原式 $= (x - 2) - (x - 4) = 2$。

4. 阅读下面的材料并解决问题.
$\frac {1}{\sqrt {2}+1}= \frac {\sqrt {2}-1}{(\sqrt {2}+1)(\sqrt {2}-1)}= \sqrt {2}-1$；
$\frac {1}{\sqrt {3}+\sqrt {2}}= \frac {\sqrt {3}-\sqrt {2}}{(\sqrt {3}+\sqrt {2})(\sqrt {3}-\sqrt {2})}= \sqrt {3}-\sqrt {2}$；
$\frac {1}{2+\sqrt {3}}= \frac {2-\sqrt {3}}{(2+\sqrt {3})(2-\sqrt {3})}= 2-\sqrt {3}$；
…
(1)观察上式并填空：$\frac {1}{\sqrt {6}+\sqrt {5}}=$$\sqrt{6}-\sqrt{5}$；
(2)观察上述规律并猜想：当$n$是正整数时,$\frac {1}{\sqrt {n+1}+\sqrt {n}}=$$\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$(用含$n$的式子表示,不用说明理由)；
(3)请利用(2)的结论计算：$(\frac {1}{\sqrt {2}+1}+\frac {1}{\sqrt {3}+\sqrt {2}}+... +\frac {1}{\sqrt {2019}+\sqrt {2018}}+\frac {1}{\sqrt {2020}+\sqrt {2019}})×(\sqrt {2020}+1)$=2019.

答案： 解:
(1) $\frac{1}{\sqrt{6} + \sqrt{5}} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{5}}{(\sqrt{6} + \sqrt{5})(\sqrt{6} - \sqrt{5})} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{5}}{6 - 5} = \sqrt{6} - \sqrt{5}$，故答案为: $\sqrt{6} - \sqrt{5}$。
(2) $\frac{1}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}}$
$= \frac{\sqrt{n + 1} - \sqrt{n}}{(\sqrt{n + 1} + \sqrt{n})(\sqrt{n + 1} - \sqrt{n})}$
$= \frac{\sqrt{n + 1} - \sqrt{n}}{n + 1 - n} = \sqrt{n + 1} - \sqrt{n}$，
故答案为: $\sqrt{n + 1} - \sqrt{n}$。
(3) 原式 $= (\sqrt{2} - 1 + \sqrt{3} - \sqrt{2} + \cdots + \sqrt{2019} - \sqrt{2018} + \sqrt{2020} - \sqrt{2019}) × (\sqrt{2020} + 1) = (\sqrt{2020} - 1) × (\sqrt{2020} + 1) = (\sqrt{2020})^{2} - 1^{2} = 2020 - 1 = 2019$。