《2025年文轩图书假期生活指导暑八年级数学通用版》

1. 已知直角三角形的三边$a$,$b$,$c满足c＞a＞b$,分别以$a$,$b$,$c$为边作三个正方形,把两个较小的正方形放置在最大的正方形内,如图,设三个正方形无重叠部分的面积为$S_{1}$,均重叠部分的面积为$S_{2}$,则 (C)
A.$S_{1}＞S_{2}$
B.$S_{1}＜S_{2}$
C.$S_{1}= S_{2}$
D.$S_{1}$,$S_{2}$的大小无法确定

答案： C

2. 如图,“今有竹高两丈五尺,末折抵地,去本五尺,问折者高几何？”意思是：一根竹子,原来高两丈五尺(一丈为十尺),虫伤有病,一阵风将竹子折断,其竹梢恰好抵地,抵地处离原竹子根部五尺远,则折断处离地面的高度为 (D)
A.5尺
B.25尺
C.13尺
D.12尺

答案： D

3. 如图,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle ACB= 90^{\circ}$,$AB= 6$,若以$AC边和BC边向外作等腰直角三角形AFC和等腰直角三角形BEC$。若$\triangle BEC的面积为S_{1}$,$\triangle AFC的面积为S_{2}$,则$S_{1}+S_{2}= $ (C)

A.4
B.9
C.18
D.36

答案： C

4. 在每个小正方形的边长为1的网格图形中,每个小正方形的顶点称为格点。如图,在$6×6的正方形网格图形ABCD$中,$M$,$N分别是AB$,$BC$上的格点,$BM= 4$,$BN= 2$。若点$P$是这个网格图形中的格点,连接$PM$,$PN$,则所有满足$\angle MPN= 45^{\circ}的\triangle PMN$中,边$PM$的长的最大值是 (C)

A.$4\sqrt{2}$
B.6
C.$2\sqrt{10}$
D.$3\sqrt{5}$

答案： C

5. $\triangle ABC的三边长a$,$b$,$c满足(a-b)^{2}+\sqrt{2a-b-3}+|c-3\sqrt{2}|= 0$,则$\triangle ABC$是等腰直角三角形。

答案： 等腰直角三角形

6. 如图,某数学兴趣小组为测量学校$C与河对岸工厂B$之间的距离,在学校附近选一点$A$,利用测量仪器测得$\angle A= 60^{\circ}$,$\angle C= 90^{\circ}$,$AC= 1km$。据此,可求得学校与工厂之间的距离$BC$等于$\sqrt{3}$$km$。

答案： $\sqrt{3}$

7. 在一次“探究性学习”中,老师设计了如下数表：
| $n$ | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | …$$ |
| $a$ | $2^{2}-1$ | $3^{2}-1$ | $4^{2}-1$ | $5^{2}-1$ | $6^{2}-1$ | …$$ |
| $b$ | 4 | 6 | 8 | 10 | 12 | …$$ |
| $c$ | $2^{2}+1$ | $3^{2}+1$ | $4^{2}+1$ | $5^{2}+1$ | $6^{2}+1$ | …$$ |
(1)观察上表,用含$n$($n＞1且n$为整数)的代数式表示$a$,$b$,$c$,则$a= $$n^{2}-1$,$b= $$2n$,$c= $$n^{2}+1$。
(2)在(1)的条件下判断：以$a$,$b$,$c$为三边长的三角形是否为直角三角形？请说明理由。

答案： 解:
(1) $n^{2}-1,2n,n^{2}+1$.
(2) 以 $a,b,c$ 为三边长的三角形是直角三角形,
理由:
$\because a=n^{2}-1,b=2n,c=n^{2}+1$,
$\therefore a^{2}=(n^{2}-1)^{2}=n^{4}-2n^{2}+1,b^{2}=(2n)^{2}=4n^{2}$,
$c^{2}=(n^{2}+1)^{2}=n^{4}+2n^{2}+1$.
又 $\because a^{2}+b^{2}=n^{4}-2n^{2}+1+4n^{2}=n^{4}+2n^{2}+1,\therefore$
$a^{2}+b^{2}=c^{2}$,
$\therefore$ 以 $a,b,c$ 为三边长的三角形是直角三角形.