《2025年文轩图书假期生活指导暑八年级数学通用版》

例3 如图,点$O是\triangle ABC$内一点,连接$OB$,$OC$,并将$AB$,$OB$,$OC$,$AC的中点D$,$E$,$F$,$G$依次连接,得到四边形$DEFG$。

(1) 求证：四边形$DEFG$是平行四边形；
(2) 若$M为EF$的中点,$OM = 3$,$\angle OBC和\angle OCB$互余,求$DG$的长度。
【解】 (1) 证明：$\because D$,$G分别是AB$,$AC$的中点,$\therefore DG // BC$,$DG = \frac{1}{2}BC$,
$\because E$,$F分别是OB$,$OC$的中点,
$\therefore EF // BC$,$EF = \frac{1}{2}BC$,
$\therefore DG = EF$,$DG // EF$,
$\therefore$ 四边形$DEFG$是平行四边形。
(2) $\because \angle OBC和\angle OCB$互余,
$\therefore \angle OBC + \angle OCB = 90^{\circ}$,
$\therefore \angle BOC = 90^{\circ}$,
$\because M为EF$的中点,$OM = 3$,
$\therefore EF = 2OM = 6$。
由(1)知四边形$DEFG$是平行四边形,
$\therefore DG = EF = 6$。
方法总结：三角形中位线是几何图形中常见的辅助线。
【解析】：
(1) 利用三角形中位线定理，分别得出$DG$与$BC$的位置和数量关系，$EF$与$BC$的位置和数量关系，进而得到$DG$与$EF$的位置和数量关系，根据平行四边形的判定定理（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）证明四边形$DEFG$是平行四边形。
(2) 先根据$\angle OBC$与$\angle OCB$互余求出$\angle BOC = 90^{\circ}$，再利用直角三角形斜边中线定理（直角三角形斜边的中线等于斜边的一半）求出$EF$的长度，最后根据平行四边形的性质（平行四边形的对边相等）得出$DG$的长度。
【答案】：
(1) 证明过程如上述；
(2) $DG$的长度为6。

答案： 【解析】：
(1) 利用三角形中位线定理，分别得出$DG$与$BC$的位置和数量关系，$EF$与$BC$的位置和数量关系，进而得到$DG$与$EF$的位置和数量关系，根据平行四边形的判定定理（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）证明四边形$DEFG$是平行四边形。
(2) 先根据$\angle OBC$与$\angle OCB$互余求出$\angle BOC = 90^{\circ}$，再利用直角三角形斜边中线定理（直角三角形斜边的中线等于斜边的一半）求出$EF$的长度，最后根据平行四边形的性质（平行四边形的对边相等）得出$DG$的长度。
【答案】：
(1) 证明过程如上述；
(2) $DG$的长度为$6$。

3. 如图,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle ACB = 90^{\circ}$,$D是AB$的中点,延长$CB至点E$,使$BE = BC$,连接$DE$,$F为DE$中点,连接$BF$。若$AC = 16$,$BC = 12$,则$BF$的长为(A)
A.$5$
B.$4$
C.$6$
D.$8$

答案： 3. A

1. 如图,在$□ ABCD$中,一定正确的是(C)

A.A
B.A
C.A
D.C

答案： 1. C

2. 下列命题,其中是真命题的是(D)
A.对角线互相垂直的四边形是平行四边形
B.有一个角是直角的四边形是矩形
C.对角线互相平分的四边形是菱形
D.对角线互相垂直的矩形是正方形

答案： 2. D

3. 如图,$A$,$B$两点被池塘隔开,$A$,$B$,$C$三点不共线。设$AC$,$BC的中点分别为M$,$N$。若$MN = 3m$,则$AB = $(B)
A.$4m$
B.$6m$
C.$8m$
D.$10m$

答案： 3. B

4. 将一个三角尺按如图所示的方式放置在一张平行四边形的纸片上,$\angle EFG = 90^{\circ}$,$\angle EGF = 60^{\circ}$,$\angle AEF = 50^{\circ}$,则$\angle EGC$的度数为(B)

A.$100^{\circ}$
B.$80^{\circ}$
C.$70^{\circ}$
D.$60^{\circ}$

答案： 4. B

5. 菱形的两条对角线的长分别是$6和8$,则这个菱形的周长是(B)
A.$24$
B.$20$
C.$10$
D.$5$

答案： 5. B