《2025年文轩图书假期生活指导暑八年级数学通用版》

1. 平方根的定义：一般地,如果一个数 $ x $ 的平方等于 $ a $,那么这个数$ x $ 叫做 $ a $ 的平方根或二次方根。即若 $ x^{2}= a $,则$ x = \pm \sqrt{a} (a \geq 0) $。一个正数有两个平方根,它们互为相反数；0 的平方根为0；负数没有平方根。

答案： 1. 这个数 $ x = \pm \sqrt{a} (a \geq 0) $ 两 互为相反数 0 没有平方根

2. 完全平方公式：$ (a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2 $。

答案： 2. $ (a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2 $

3. 一元一次方程 $ ax = b(a \neq 0) $ 的解是$ x = \frac{b}{a} $。

答案： 3. $ x = \frac{b}{a} $

4. 一元二次方程的一般形式是$ ax^2 + bx + c = 0 (a \neq 0) $,其中 $ a,b,c $ 分别称为二次项系数、一次项系数和常数项。

答案： 4. $ ax^2 + bx + c = 0 (a \neq 0) $ 二次项系数 一次项系数 常数项

5. 因式分解：把一个多项式化成几个整式积的形式,像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解。常用的因式分解的方法有：提公因式法和公式法。

答案： 5. 积 提公因式法 公式法

例 1 用适当的方法解下列方程：
(1) $ 2(x - 1)^{2} - 18 = 0 $；
解：整理，得 $ (x - 1)^{2} = 9 $。开平方，得 $ x - 1 = \pm 3 $，即 $ x - 1 = 3 $ 或 $ x - 1 = - 3 $，$ \therefore x_{1} = $4,$ x_{2} = $-2。
(2) $ x^{2} + 4x - 1 = 0 $；
解：原方程变形为 $ x^{2} + 4x = 1 $。
配方，得 $ x^{2} + 4x + 2^{2} = 1 + 2^{2} $，
即 $ (x + 2)^{2} = 5 $。可得 $ x + 2 = \pm \sqrt{5} $，
$ \therefore x_{1} = $$-2 + \sqrt{5}$,$ x_{2} = $$-2 - \sqrt{5}$。
(3) $ 9(x + 1)^{2} = (2x - 5)^{2} $；
解：整理，得 $ [3(x + 1)]^{2} - (2x - 5)^{2} = 0 $。
因式分解，得 $ [3(x + 1) + (2x - 5)][3(x + 1) - (2x - 5)] = 0 $。
可得 $ 3(x + 1) + (2x - 5) = 0 $ 或 $ 3(x + 1) - (2x - 5) = 0 $，
即 $ 5x - 2 = 0 $ 或 $ x + 8 = 0 $，
$ \therefore x_{1} = $$\frac{2}{5}$,$ x_{2} = $-8。
(4) $ 9x^{2} - 12x - 1 = 0 $。
解：$ \because a = $9,$ b = $-12,$ c = $-1,
$ \therefore \Delta = b^{2} - 4ac = (- 12)^{2} - 4 × 9 × (- 1) = 144 + 36 = $180＞ 0，
$ \therefore x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a} = \frac{-(- 12) \pm \sqrt{180}}{2 × 9} = $$\frac{2 \pm \sqrt{5}}{3}$，
即 $ x_{1} = $$\frac{2 + \sqrt{5}}{3}$,$ x_{2} = $$\frac{2 - \sqrt{5}}{3}$。

答案： 【分析】
(1) 整理可得 $ (x - 1)^{2} = 9 $,适合用直接开平方法；
(2) 二次项系数为 1,一次项系数为偶数,适合用配方法；
(3) 移项后,能进行因式分解,适合用因式分解法；
(4) 用直接开平方法、配方法、因式分解法都不简便,适合用公式法。
【解】
(1) 整理,得 $ (x - 1)^{2} = 9 $。开平方,得 $ x - 1 = \pm 3 $,即 $ x - 1 = 3 $ 或 $ x - 1 = - 3 $,$ \therefore x_{1} = 4,x_{2} = - 2 $。
(2) 原方程变形为 $ x^{2} + 4x = 1 $。
配方,得 $ x^{2} + 4x + 2^{2} = 1 + 2^{2} $,
即 $ (x + 2)^{2} = 5 $。可得 $ x + 2 = \pm \sqrt{5} $,
$ \therefore x_{1} = - 2 + \sqrt{5},x_{2} = - 2 - \sqrt{5} $。
(3) 整理,得 $ [3(x + 1)]^{2} - (2x - 5)^{2} = 0 $。
因式分解,得 $ [3(x + 1) + (2x - 5)][3(x + 1) - (2x - 5)] = 0 $。
可得 $ 3(x + 1) + (2x - 5) = 0 $ 或 $ 3(x + 1) - (2x - 5) = 0 $,
即 $ 5x - 2 = 0 $ 或 $ x + 8 = 0 $,
$ \therefore x_{1} = \frac{2}{5},x_{2} = - 8 $。
(4) $ \because a = 9,b = - 12,c = - 1 $,
$ \therefore \Delta = b^{2} - 4ac = (- 12)^{2} - 4 × 9 × (- 1) = 144 + 36 = 180 ＞ 0 $,
$ \therefore x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a} = \frac{-(- 12) \pm \sqrt{180}}{2 × 9} = \frac{2 \pm \sqrt{5}}{3} $,
即 $ x_{1} = \frac{2 + \sqrt{5}}{3},x_{2} = \frac{2 - \sqrt{5}}{3} $。
方法总结：解一元二次方程时,要根据方程的特点选择简便方法；先考虑能否用直接开平方法和因式分解法,不能用这两种方法解时,再用公式法或配方法。公式法是解一元二次方程的通用方法,可以解所有的一元二次方程。