《2025年文轩图书假期生活指导暑八年级数学通用版》

5. 如图, 在平行四边形 $ABCD$ 中, $AD = 2AB = 2$, $\angle ABC = 60^{\circ}$, $E$, $F$ 是对角线 $BD$ 上的动点, 且 $BE = DF$, $M$, $N$ 分别是边 $AD$, 边 $BC$ 上的动点. 下列四种说法:

① 存在无数个平行四边形 $MENF$;
② 存在无数个矩形 $MENF$;
③ 存在无数个菱形 $MENF$;
④ 存在无数个正方形 $MENF$.
其中正确的个数是(C)
A.1
B.2
C.3
D.4

答案： C

6. 如图, $E$、$F$ 分别是正方形 $ABCD$ 的边 $AB$, $BC$ 上的动点, 满足 $AE = BF$, 连接 $CE$, $DF$, 相交于点 $G$, 连接 $AG$, 若正方形的边长为 2. 则线段 $AG$ 的最小值为$\sqrt{2}$.

答案： $\sqrt{2}$

7. 如图, 在矩形 $ABCD$ 中, $AB = 3$, $BC = 4$. 点 $E$ 在边 $AD$ 上, 且 $ED = 3$, $M$, $N$ 分别是边 $AB$, $BC$ 上的动点, 且 $BM = BN$, $P$ 是线段 $CE$ 上的动点, 连接 $PM$, $PN$. 若 $PM + PN = 4$, 则线段 $PC$ 的长为____$2\sqrt{2}$.

答案： $2\sqrt{2}$

8. 如图, 已知菱形 $ABCD$ 中, $AB = 6$, $\angle B = 60^{\circ}$, $E$ 是 $BC$ 边上一动点, $F$ 是 $CD$ 边上一动点, 且 $BE = CF$, 连接 $AE$, $AF$.
(1) $\angle EAF$ 的度数是60°;

(2) 求证: $AE = AF$;
(3) 延长 $AF$ 交 $BC$ 的延长线于点 $G$, 当 $\angle BAE = 30^{\circ}$ 时, 求点 $F$ 到 $BG$ 的距离.$\frac{3\sqrt{3}}{2}$

答案：
解:
(1)连接AC,
∵四边形ABCD是菱形，

∴AB=BC,
∵∠B=60°,
∴△ABC是正三角形,
∴AB=AC,∠ACB=60°,
∴∠ACF=∠ACB=60°,
在△ABE和△ACF中,$\left\{\begin{array}{l}AB=AC\\ \angle ABC=\angle ACF\\ BE=CF\end{array}\right.$
∴△ABE≌△ACF(SAS),
∴∠BAE=∠CAF,
∴∠EAF=∠EAC+∠CAF=∠EAC+∠BAE =60°,
故答案为60°;
(2)证明:由
(1)可知,△ABE≌△ACF,
∴AE=AF;
(3)连接AC,当∠BAE=30°时,
∵∠B=60°,
∴∠AEB=90°,
∵△ABC是正三角形,
∴E为BC中点,
∴F为CD中点,
在Rt△ABE中,AB=6,BE=3,
∴AE=$\sqrt{6^{2}-3^{2}}=3\sqrt{3}$
过点F作FH⊥CG于点H,

∵F为CD中点,FH//AE,
易证:△ADF≌△GCF
∵AF=FG,
∴FH=$\frac{1}{2}$AE=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$,
∴点F到BG的距离$\frac{3\sqrt{3}}{2}$.