《2025年文轩图书假期生活指导暑八年级数学通用版》

19. 某水果店购进甲、乙两种苹果的进价分别为8元/kg、12元/kg,这两种苹果的销售额y(单位：元)与销售量x(单位：kg)之间的关系如图所示.

(1)写出图中点B表示的实际意义；
当销量为60 kg时，甲、乙两种苹果的销售额均为1200元
(2)分别求甲、乙两种苹果销售额y(单位：元)与销售量x(单位：kg)之间的函数解析式,并写出x的取值范围；
甲种苹果：$y_{甲} = 20x(0 \leq x \leq 120)$
乙种苹果：$y_{乙} = \begin{cases}25x(0 \leq x \leq 30)\\15x + 300(30 \leq x \leq 120)\end{cases}$
(3)若不计损耗等因素,当甲、乙两种苹果的销售量均为a kg时,它们的利润和为1500元,求a的值.
80

答案： 解:
(1)图中点B表示的实际意义为当销量为60 kg时，甲、乙两种苹果的销售额均为1200元。
(2)设甲种苹果销售额y与销售量x之间的函数解析式为$y_{甲} = kx(k \neq 0)$。
把(60,1200)代入解析式得:1200 = 60k，
解得k = 20。
∴甲种苹果销售额y与销售量x之间的函数解析式为$y_{甲} = 20x(0 \leq x \leq 120)$。
当$0 \leq x \leq 30$时，设乙种苹果销售额y与销售量x之间的函数解析式为$y_{乙} = k'x(k' \neq 0)$。
把(30,750)代入解析式得:750 = 30k'，
解得:$k' = 25$，
∴$y_{乙} = 25x$。
当$30 \leq x \leq 120$时，设乙种苹果销售额y与销售量x之间的函数解析式为$y_{乙} = mx + n(m \neq 0)$。
则$\begin{cases}30m + n = 750\\60m + n = 1200\end{cases}$，解得:$\begin{cases}m = 15\\n = 300\end{cases}$。
∴$y_{乙} = 15x + 300$。
综上，乙种苹果销售额y与销售量x之间的函数解析式为
$y_{乙} = \begin{cases}25x(0 \leq x \leq 30)\\15x + 300(30 \leq x \leq 120)\end{cases}$。
(3)①当$0 \leq a \leq 30$时，
根据题意得:
$(20 - 8)a + (25 - 12)a = 1500$，
解得:$a = 60 ＞ 30$，不合题意。
②当$30 ＜ a \leq 120$时，
根据题意得:
$(20 - 8)a + (15 - 12)a + 300 = 1500$，
解得:$a = 80$。
综上，a的值为80。

20. 小明在学习一次函数后,对形如$y= k(x-m)+n$(其中k,m,n为常数,且$k≠0$)的一次函数的图象和性质进行了探究,过程如下：

【特例探究】如图所示,小明分别画出了函数$y= (x-1)+2$,$y= -(x-1)+2$,$y= 2(x-1)+2$的图象.请你根据列表、描点、连线的步骤在图中画出函数$y= -2(x-1)+2$的图象.
【深入探究】通过对上述几个函数图象的观察、思考,你发现$y= k(x-1)+2$(k为常数,且$k≠0$)的图象一定会经过的点的坐标是____(1,2)____.
【得到性质】函数$y= k(x-m)+n$(其中k,m,n为常数,且$k≠0$)的图象一定会经过的点的坐标是____(m,n)____.
【实践运用】已知一次函数$y= k(x+2)+3$(k为常数,且$k≠0$)的图象一定过点N,且与y轴相交于点A,若$\triangle OAN$的面积为2,求k的值.$k = -\frac{1}{2}$或$k = -\frac{5}{2}$

答案：
解:【特例探究】列表:
| $x$ | $0$ | $1$ |
| --- | --- | --- |
| $y$ | $4$ | $2$ |
描点、连线，画出直线$y = -2(x - 1) + 2$如图所示。

【深入探究】(1,2)
【得到性质】(m,n)
【实践运用】
∵一次函数$y = k(x + 2) + 3$($k$为常数，且$k \neq 0$)的图象一定过点N，且与y轴相交于点A。
∴点$N(-2,3)$，$A(0,2k + 3)$。
∴$OA = |2k + 3|$。
∵$\triangle OAN$的面积为2。
∴$\frac{1}{2}×|2k + 3|×2 = 2$。
∴$k = -\frac{1}{2}$或$k = -\frac{5}{2}$。