《2025年文轩图书假期生活指导暑八年级数学通用版》

例3 已知关于x的一元二次方程$ax^{2}+bx+c= 0(a≠0)$的一个根是1,且a,b满足等式$b= \sqrt {a-2}+\sqrt {2-a}-1$,求此一元二次方程.
此一元二次方程为$2x^{2}-x-1= 0$.

答案： 【分析】 抓住“a,b满足等式$b= \sqrt {a-2}+\sqrt {2-a}-1$”这一条件,其中隐含着a,b的值是确定的,由二次根式的性质可知$a-2≥0,2-a≥0$,即$a= 2$,从而可求b的值.根据一元二次方程根的概念,把$x= 1代入方程可得a+b+c= 0$,从而c的值可求.
【解】 因为方程$ax^{2}+bx+c= 0(a≠0)$的一个根是1,
所以将$x= 1代入方程可得a+b+c= 0$. ①
根据二次根式的性质可知$a-2≥0,2-a≥0$,
所以$a= 2$.
故$b= \sqrt {a-2}+\sqrt {2-a}-1= 0+0-1= -1$.
把$a= 2,b= -1$代入①中,得$c= -1$.
所以所求一元二次方程为$2x^{2}-x-1= 0$.
✿方法总结:方程的根就是满足方程的未知数的值,当条件中给出方程的一个根时,通常将此根代入方程,以确定待定系数满足的等式.

例4 已知$x= -1是一元二次方程6x^{2}-2a= 0$的一个根,则$2a-1$的值为5.

答案： 【解析】 把$x= -1代入一元二次方程6x^{2}-2a= 0$,得$6×(-1)^{2}-2a= 0$.
解得$a= 3$.
则$2a-1= 5$.
【答案】 5
✿方法总结:求解此类问题的一般思路方法:先将根代回到方程中,得到一个关于所求字母的方程,再求解这个方程即可得出答案.

例5 已知a是一元二次方程$x^{2}-2017x+1= 0$的一个根,试求$a^{2}-2016a+\frac {2017}{a^{2}+1}$的值.

答案： 【分析】 根据一元二次方程根的定义知$a^{2}-2017a+1= 0$,即$a^{2}+1= 2017a$.经过观察可知待求式中分式的分母为$a^{2}+1$,因此可以把$a^{2}+1$看做一个整体代入待求式.
【解】
∵a是方程$x^{2}-2017x+1= 0$的一个根,
∴$a^{2}-2017a+1= 0$,
∴$a^{2}+1= 2017a,a^{2}= 2017a-1$.
∴$a^{2}-2016a+\frac {2017}{a^{2}+1}= 2017a-1-2016a+\frac {2017}{2017a}$
$=a-1+\frac {1}{a}= \frac {a^{2}-a+1}{a}= \frac {2017a-a}{a}= 2016$.
✿方法总结:整体代入法是代数式求值的常用方法之一.本题在求代数式的值时,不宜直接求字母a的值.此解法的巧妙之处是把$a^{2}+1$看做一个整体代入待求式,使计算简便.

例6 2022年新春佳节,某班数学兴趣小组的x名同学互发短信祝贺(每名同学给其余同学每人只发一条短信),一共有90条短信发出,则可列方程为$x(x-1)= 90$.

答案： 【解析】 每名同学需给$(x-1)$名同学发短信,则x名同学共发短信$x(x-1)$条,即$x(x-1)= 90$.
【答案】 $x(x-1)= 90$
✿方法总结:互发短信问题与握手问题的区别:互发短信是两次性动作,握手是一次性动作,甲给乙发短信与乙给甲发短信是不相同的,但甲与乙握手和乙与甲握手相同.