《2025年文轩图书假期生活指导暑八年级数学通用版》

18. 如图1,将长为2a+3,宽为2a的矩形分割成四个全等的直角三角形,拼成“赵爽弦图”(如图2),得到大小两个正方形。


(1)用关于a的代数式表示图2中小正方形的边长；a+3
(2)当a= 3时,该小正方形的面积是多少？36

答案： 18. 解:
(1) $ \because $ 直角三角形较短的直角边 $ =\frac{1}{2}×2a = a $, 较长的直角边 $ = 2a + 3 $,
$ \therefore $ 小正方形的边长 $ = 2a + 3 - a = a + 3 $;
(2) 小正方形的面积 $ = (a + 3)^{2} $,
当 $ a = 3 $ 时, 面积 $ = (3 + 3)^{2}=36 $.

19. 某地区为了开发农业,决定在公路上相距25km的A,B两站之间E点修建一个土特产加工基地,使E点到C,D两村的距离相等。如图,DA⊥AB于点A,CB⊥AB于点B,DA= 15km,CB= 10km,土特产加工基地E应建在距离A站多少10km的地方？

答案： 19. 解: 设 $ AE = x\ km $, 则 $ BE = (25 - x)\ km $.
在 $ Rt\triangle DAE $ 中, $ DA^{2}+AE^{2}=DE^{2} $,
在 $ Rt\triangle EBC $ 中, $ BE^{2}+BC^{2}=CE^{2} $.
$ \because DE = CE $, $ \therefore DA^{2}+AE^{2}=BE^{2}+BC^{2} $,
$ \therefore 15^{2}+x^{2}=(25 - x)^{2}+10^{2} $, 解得 $ x = 10 $.
答: 土特产加工基地 $ E $ 应建在距离 $ A $ 站 10 千米的地方.

20. 一块长方体木块的各棱长如图所示,一只蜘蛛在木块的一个顶点A处,一只苍蝇在这个长方体上和蜘蛛相对的顶点B处,蜘蛛急于捉住苍蝇,沿着长方体的表面向上爬。
(1)如果D是棱的中点,蜘蛛沿“AD→DB”路线爬行,它从A点爬到B点所走的路程为(5+√13)cm。
(2)你认为“AD→DB”是最短路线吗？如果你认为不是,请计算出最短的路程。不是，6√2cm

答案： 20. 解:
(1) 从点 $ A $ 爬到点 $ B $ 所走的路程为 $ AD + BD=\sqrt{4^{2}+3^{2}}+\sqrt{2^{2}+3^{2}}=(5+\sqrt{13})\ cm $.
(2) 不是, 分三种情况讨论: ① 将下面和右面展到一个平面内, $ AB=\sqrt{(4 + 6)^{2}+2^{2}}=\sqrt{104}=2\sqrt{26}(cm) $; ② 将前面与右面展到一个平面内, $ AB=\sqrt{(4 + 2)^{2}+6^{2}}=\sqrt{72}=6\sqrt{2}(cm) $; ③ 将前面与上面展到一个平面内, $ AB=\sqrt{(6 + 2)^{2}+4^{2}}=\sqrt{80}=4\sqrt{5}(cm) $,
$ \because 6\sqrt{2}＜4\sqrt{5}＜2\sqrt{26} $, $ \therefore $ 蜘蛛从 $ A $ 点爬到 $ B $ 点所走的最短路程为 $ 6\sqrt{2}\ cm $.