《2025年文轩图书假期生活指导暑八年级数学通用版》

1. 代数式$\frac{1}{\sqrt{x + 1}}$有意义时,$x$应满足的条件为(B)
A.$x \neq -1$
B.$x ＞ -1$
C.$x ＜ -1$
D.$x \leq -1$

答案： B

例2 实数$a$,$b$在数轴上的位置如图所示,化简$|a + 1| - \sqrt{(b - 1)^2} + \sqrt{(a - b)^2} = $2.

答案： 【答案】2
方法总结：本题主要考查了二次根式的性质以及实数与数轴,正确得出各项符号是解题的关键.

2. 已知$1 ＜ a ＜ 3$,则化简$\sqrt{1 - 2a + a^2} - \sqrt{a^2 - 8a + 16}$的结果是$2a - 5$.

答案： $2a - 5$

例3 下列各式中,是最简二次根式的是(C)
A.$\sqrt{\frac{1}{2}}$
B.$\sqrt{32}$
C.$\sqrt{7}$
D.$\sqrt{a^2}$

答案： 【答案】C
方法总结：本题考查最简二次根式,解题的关键是熟练运用最简二次根式的概念,本题属于基础题型.

3. 下列二次根式中,最简二次根式是(C)
A.$\sqrt{9a}$
B.$\sqrt{5a^3}$
C.$\sqrt{a^2 + b^2}$
D.$\sqrt{\frac{a + 1}{2}}$

答案： C

例4 下列各式计算正确的是(D)
A.$\sqrt{2} + \sqrt{3} = \sqrt{5}$
B.$4\sqrt{3} - 3\sqrt{3} = 1$
C.$\sqrt{12} ÷ 2 = \sqrt{6}$
D.$\sqrt{2} × \sqrt{3} = \sqrt{6}$

答案： 【答案】D
方法总结：本题主要考查二次根式的混合运算,解题的关键是掌握合并同类二次根式法则、同类二次根式的定义、二次根式的乘法和除法法则.

4. 计算$(\sqrt{27} - \sqrt{12}) × \sqrt{\frac{1}{3}}$的结果是(B)
A.$\frac{\sqrt{3}}{3}$
B.1
C.$\sqrt{5}$
D.3

答案： B

例5 已知$a = 3 + \sqrt{2}$,$b = 3 - \sqrt{2}$,分别求下列代数式的值：
(1)$a^2 - b^2$=$12\sqrt{2}$；
(2)$a^2 - 2ab + b^2$=8.

答案： 【解】
(1)$\because a = 3 + \sqrt{2}$,$b = 3 - \sqrt{2}$,
$\therefore a + b = 3 + \sqrt{2} + 3 - \sqrt{2} = 6$,$a - b = 3 + \sqrt{2} - 3 + \sqrt{2} = 2\sqrt{2}$,
则$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$
$= 6 × 2\sqrt{2}$
$= 12\sqrt{2}$；
(2)由
(1)知$a - b = 2\sqrt{2}$,
$\therefore a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$
$= (2\sqrt{2})^2$
$= 8$.
方法总结：解决此类问题时,如果代数式的形式已经是最简形式,那么直接代入求值；如果代数式的形式可以通过因式分解或分式约分进行化简,那么通常要先化简,再代入求值.