《2025年文轩图书假期生活指导暑八年级数学通用版》

1. 如图, 在正方形 ABMF 中剪去一个小正方形 CDEM, 动点 P 从点 A 出发, 沿 $ A \to B \to C \to D \to E \to F $ 的路线匀速运动到点 F 停止, 则 $ \triangle APF $ 的面积 S 随着时间 t 的变化的图象大致是 (C)

答案： C

2. 如图, 在等腰直角三角形 ABC 中, $ \angle BAC = 90^{\circ} $, 点 M, N 分别为 BC, AC 上的动点, 且 $ AN = CM $, $ AB = \sqrt{2} $. 当 $ AM + BN $ 的值最小时, CM 的长为____$ 2 - \sqrt { 2 } $.

答案： $ 2 - \sqrt { 2 } $

3. 如图, 直线 $ y = 2x + 4 $ 与 x 轴交于点 A, 与 y 轴交于点 B, 点 D 为 OB 的中点, $ □ OCDE $ 的顶点 C 在 x 轴上, 顶点 E 在直线 AB 上, 则 $ □ OCDE $ 的面积为2.

答案： 2

4. 如图, 在直角坐标系中, 点 $ A(2, m) $ 在直线 $ y = 2x - \frac{5}{2} $ 上, 过点 A 的直线交 y 轴于点 $ B(0, 3) $.
(1) 求 m 的值和直线 AB 的函数表达式;
m的值为$\frac{3}{2}$，直线AB的函数表达式为$y = -\frac{3}{4}x + 3$
(2) 若点 $ P(t, y_1) $ 在线段 AB 上, 点 $ Q(t - 1, y_2) $ 在直线 $ y = 2x - \frac{5}{2} $ 上, 求 $ y_1 - y_2 $ 的最大值.
$y_1 - y_2$的最大值为$\frac{15}{2}$

答案： 解:
(1) 把 $ A ( 2 , m ) $ 代入 $ y = 2 x - \frac { 5 } { 2 } $，解得 $ m = \frac { 3 } { 2 } $。
设直线 $ AB $ 的函数表达式为 $ y = k x + b ( k \neq 0 ) $，把 $ A \left( 2 , \frac { 3 } { 2 } \right) $，$ B ( 0 , 3 ) $ 代入得 $ \left\{ \begin{array} { l } { 2 k + b = \frac { 3 } { 2 } , } \\ { b = 3 , } \end{array} \right. $ 解得 $ \left\{ \begin{array} { l } { k = - \frac { 3 } { 4 } , } \\ { b = 3 . } \end{array} \right. $ $ \therefore $ 直线 $ AB $ 的函数表达式为 $ y = - \frac { 3 } { 4 } x + 3 $。
(2) $ \because $ 点 $ P ( t , y _ { 1 } ) $ 在线段 $ AB $ 上，点 $ Q ( t - 1 , y _ { 2 } ) $ 在直线 $ y = 2 x - \frac { 5 } { 2 } $ 上，$ \therefore y _ { 1 } = - \frac { 3 } { 4 } t + 3 ( 0 \leq t \leq 2 ) $，$ y _ { 2 } = 2 ( t - 1 ) - \frac { 5 } { 2 } = 2 t - \frac { 9 } { 2 } $，$ \therefore y _ { 1 } - y _ { 2 } = - \frac { 3 } { 4 } t + 3 - \left( 2 t - \frac { 9 } { 2 } \right) = - \frac { 11 } { 4 } t + \frac { 15 } { 2 } ( 0 \leq t \leq 2 ) $。$ \because - \frac { 11 } { 4 } ＜ 0 $，$ \therefore y _ { 1 } - y _ { 2 } $ 的值随 $ t $ 的增大而减小，$ \therefore $ 当 $ t = 0 $ 时，$ y _ { 1 } - y _ { 2 } $ 取得最大值，为 $ \frac { 15 } { 2 } $。