《2025年文轩图书假期生活指导暑八年级数学通用版》

8. 笔直的河流一侧有一营地$C$,河边有两个漂流点$A$,$B$,其中$AB= AC$,由于周边施工,由$C到A$的路现在已经不通,为方便游客,在河边新建一个漂流点$H$($A$,$H$,$B$在同一直线上),并新修一条路$CH$,测得$BC= 10km$,$CH= 8km$,$BH= 6km$。
(1)判断$\triangle BCH$的形状,并说明理由；
$\triangle BCH$是直角三角形，理由是: 在 $\triangle BCH$ 中,$\because CH^{2}+BH^{2}=8^{2}+6^{2}=100,BC^{2}=100$,$\therefore CH^{2}+BH^{2}=BC^{2}$,$\therefore \triangle BCH$是直角三角形且$\angle CHB=90^{\circ }$;
(2)求原路线$AC$的长。
原路线$AC$的长为$8\frac{1}{3}\mathrm{km}$.

答案： 解:
(1) $\triangle BCH$ 是直角三角形,
理由是: 在 $\triangle BCH$ 中,
$\because CH^{2}+BH^{2}=8^{2}+6^{2}=100,BC^{2}=100$,
$\therefore CH^{2}+BH^{2}=BC^{2}$,
$\therefore \triangle BCH$ 是直角三角形且 $\angle CHB=90^{\circ }$;
(2) 设 $AC=AB=x\mathrm{km}$,
则 $AH=AB-BH=(x-6)\mathrm{km}$,
在 $Rt\triangle ACH$ 中,
由已知得 $AC=x,AH=x-6,CH=8$,
由勾股定理得: $AC^{2}=AH^{2}+CH^{2}$,
$\therefore x^{2}=(x-6)^{2}+8^{2}$
解这个方程, 得 $x=8\frac{1}{3}$.
答: 原来的路线 $AC$ 的长为 $8\frac{1}{3}\mathrm{km}$.

9. 如图,学校操场边有一块四边形空地$ABCD$,其中$AB\perp AC$,$AB= 8m$,$BC= 17m$,$CD= 9m$,$AD= 12m$。为了美化校园环境,创建绿色校园,学校计划将这块四边形空地进行绿化整理。

(1)求需要绿化的空地$ABCD$的面积；114m²
(2)为方便师生出入,设计了过点$A的小路AE$,且$AE\perp BC于点E$,试求小路$AE$的长。$\frac{120}{17}m$

答案： 【解析】：
### $(1)$ 求四边形$ABCD$的面积
- 首先在$Rt\triangle ABC$中，根据勾股定理$AC^{2}+AB^{2}=BC^{2}$，已知$AB = 8m$，$BC = 17m$，则$AC=\sqrt{BC^{2}-AB^{2}}=\sqrt{17^{2}-8^{2}}=\sqrt{289 - 64}=\sqrt{225}=15m$。
- 然后在$\triangle ACD$中，已知$CD = 9m$，$AD = 12m$，$AC = 15m$。
因为$AD^{2}+CD^{2}=12^{2}+9^{2}=144 + 81=225$，$AC^{2}=15^{2}=225$，所以$AD^{2}+CD^{2}=AC^{2}$。
根据勾股定理的逆定理可知$\triangle ACD$是直角三角形，$\angle D = 90^{\circ}$。
- 最后求四边形$ABCD$的面积$S_{四边形ABCD}=S_{\triangle ABC}+S_{\triangle ACD}$。
$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}× AB× AC=\frac{1}{2}×8×15 = 60m^{2}$，$S_{\triangle ACD}=\frac{1}{2}× AD× CD=\frac{1}{2}×12×9 = 54m^{2}$。
所以$S_{四边形ABCD}=60 + 54=114m^{2}$。
### $(2)$ 求$AE$的长
根据三角形面积公式$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}× BC× AE$，又因为$S_{\triangle ABC}=60m^{2}$，$BC = 17m$。
则$AE=\frac{2S_{\triangle ABC}}{BC}=\frac{2×60}{17}=\frac{120}{17}m$。
【答案】：
$(1)$$\boldsymbol{114m^{2}}$；$(2)$$\boldsymbol{\frac{120}{17}m}$