《2025年文轩图书假期生活指导暑八年级数学通用版》

19. 计算：
(1)$\sqrt {48}÷\sqrt {3}-\sqrt {\frac {1}{2}}×\sqrt {12}+\sqrt {24}$；
(2)$\sqrt {2}×\sqrt {6}-|\sqrt {3}-2|-(-\frac {1}{2})^{-1}$.

答案： 解:
(1)原式=4−$\sqrt{6}$+2$\sqrt{6}$=4+$\sqrt{6}$
(2)原式=$\sqrt{2}$×$\sqrt{6}$−|$\sqrt{3}$−2|−(−$\frac{1}{2}$)⁻¹=$\sqrt{2}$×$\sqrt{2}$×$\sqrt{3}$+$\sqrt{3}$−2−(−2)=2$\sqrt{3}$+$\sqrt{3}$−2+2=3$\sqrt{3}$

20. 已知$x= \sqrt {2}-1$,$y= \sqrt {2}+1$,分别求下列代数式的值：
(1)$x^{2}+y^{2}$=6；(2)$\frac {y}{x}+\frac {x}{y}$=6.

答案： 解:
(1)x²+y²=($\sqrt{2}$−1)²+($\sqrt{2}$+1)²=3−2$\sqrt{2}$+3+2$\sqrt{2}$=6.
(2)
∵xy=($\sqrt{2}$−1)×($\sqrt{2}$+1)=2−1=1,
　
∴原式=$\frac{x²+y²}{xy}$=6.

21. 图1、图2均为正方形网格,每个小正方形的边长均设为1,各个小正方形的顶点叫作格点,请在下面的网格中按要求分别画图,使得每个图形的顶点均在格点上.
(1)画一个直角三角形,且三边长为$\sqrt {5}$,$2\sqrt {5}$,5.答案不唯一.如图1，直角三角形两直角边长分别为$\sqrt{5}$,2$\sqrt{5}$,斜边长为5.
(2)画一个边长为整数的等腰三角形,且面积等于12.答案不唯一.取底边长为8，高为3的等腰三角形，或取底边长为6，高为4的等腰三角形，如图2.

答案：
解:
(1)答案不唯一.如图1，直角三角形两直角边长分别为$\sqrt{5}$,2$\sqrt{5}$,斜边长为5.
(2)答案不唯一.取底边长为8，高为3的等腰三角形，或取底边长为6，高为4的等腰三角形，如图2.
　　　　

22. 如图,在一条东西走向河流的一侧有一村庄C,河边原有两个取水点A,B,其中$AB= AC$,由于某种原因,由C到A的路现在已经不通,该村庄为方便村民取水,决定在河边新建一个取水点H(A,B,H在同一直线上),并新建一条路CH,测得$CB= \sqrt {13}km$,$CH= 3km$,$HB= 2km$.
(1)CH是不是从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明；
　　答：是
(2)求新路CH比原路CA短多少？
　　答：0.25千米

答案： 解:
(1)CH是从村庄C到河边的最近路.理由如下:
　
∵CB=$\sqrt{13}$km,CH=3km,HB=2km,
　
∴CB²=CH²+HB²,
　
∴△BCH为直角三角形,∠BHC=90°,
　
∴CH⊥AB,
　
∴CH为C点到AB的最短路线;
(2)设AC=xkm,
　　则AB=xkm,AH=(x−2)km,
　　在Rt△ACH中,(x−2)²+3²=x²,
　　解得x=$\frac{13}{4}$,
　　即AC=$\frac{13}{4}$km,
　
∵AC−CH=$\frac{13}{4}$−3=0.25(km),
　　答:新路CH比原路CA少0.25千米.