《2025年启东中学作业本八年级数学上册苏科版连淮专版》

3. 如图,AC,BD 相交于点 O,$ AD = BC $,$ ∠DAO = ∠CBO $。求证：$ △ABD ≌ △BAC $。

答案： 解：
在$\triangle ADO$和$\triangle BCO$中，
$\begin{cases}\angle DAO=\angle CBO\\\angle AOD = \angle BOC\\AD = BC\end{cases}$
根据$AAS$（两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等）可得$\triangle ADO\cong\triangle BCO$。
所以$AO = BO$，$DO = CO$。
则$AO + CO=BO + DO$，即$AC = BD$。
在$\triangle ABD$和$\triangle BAC$中，
$\begin{cases}AD = BC\\BD = AC\\AB = BA\end{cases}$
根据$SSS$（三边对应相等的两个三角形全等）可得$\triangle ABD\cong\triangle BAC$。

1. 定理:斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等(简写成HL).

答案： 斜边 一条直角边 HL

2. 符号语言:
∠C=∠F=90°，在Rt△ABC和Rt△DEF中，AB=DE，DE=EF，∴Rt△ABC≌Rt△DEF(HL)

答案： 90 DE EF HL

1. 如图,$AB⊥BC,AD⊥DC,AB= AD$,求证:AC平分$∠BAD$.

答案： 解：
因为$AB\perp BC$，$AD\perp DC$，所以$\angle B = \angle D = 90^{\circ}$。
在$Rt\triangle ABC$和$Rt\triangle ADC$中，
$\begin{cases}AB = AD\\AC = AC\end{cases}$（公共边）
根据$HL$（斜边 - 直角边）定理，可得$Rt\triangle ABC\cong Rt\triangle ADC$。
所以$\angle BAC=\angle DAC$（全等三角形对应角相等）。
即$AC$平分$\angle BAD$。

2. 如图,在$\triangle ABC和\triangle DCB$中,$BA⊥CA$于点A,$CD⊥BD$于点D,$AC= BD$. 求证:$\triangle ABC\cong \triangle DCB$.

答案： 解：
因为$BA\perp CA$，$CD\perp BD$，所以$\angle A = \angle D = 90^{\circ}$。
在$Rt\triangle ABC$和$Rt\triangle DCB$中，
$\begin{cases}AC = BD\\BC = CB\end{cases}$
根据$HL$（斜边直角边定理），可得$Rt\triangle ABC\cong Rt\triangle DCB$。
所以$\triangle ABC\cong\triangle DCB$。

3. 如图,$AB= AC,AE= AF,AE⊥EC,AF⊥BF$,垂足分别为E,F. 求证:$∠1= ∠2$.

答案： 解：
因为$AE⊥EC$，$AF⊥BF$，所以$\angle AEB = \angle AFC = 90^{\circ}$。
在$Rt\triangle AEB$和$Rt\triangle AFC$中，
$\begin{cases}AB = AC \\ AE = AF\end{cases}$
根据$HL$（斜边 - 直角边）定理，可得$Rt\triangle AEB\cong Rt\triangle AFC$。
所以$\angle EAB = \angle FAC$。
又因为$\angle 1=\angle EAB - \angle BAC$，$\angle 2=\angle FAC - \angle BAC$，
所以$\angle 1 = \angle 2$。