《2025年启东中学作业本八年级数学上册苏科版连淮专版》

2. 如图,点$E在\triangle ABC的边AC$上,$AE= BC$,$BC// AD$,$∠CED= ∠BAD$. 求证：$\triangle ABC\cong \triangle DEA$.

答案： 解：
因为$BC// AD$，所以$\angle C=\angle DAE$（两直线平行，内错角相等）。
在$\triangle ABC$和$\triangle DEA$中：
$\left\{\begin{array}{l}\angle BAC=\angle D\\\angle C=\angle DAE\\BC = AE\end{array}\right.$（$\angle BAC$和$\angle D$可由$\angle CED=\angle BAD$等角关系推导得出）
根据$AAS$（两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等），可得$\triangle ABC\cong\triangle DEA$。

3. 如图,$AB= AC$,$BE⊥AC$,$CD⊥AB$,垂足分别为$E$,$D$.
(1) 求证：$\triangle ABE\cong \triangle ACD$；
(2) 若$AB= 13$,$AE= 5$,求$BD$的长度.

答案： 1. （1）证明：
因为$BE\perp AC$，$CD\perp AB$，所以$\angle AEB=\angle ADC = 90^{\circ}$。
在$\triangle ABE$和$\triangle ACD$中：
$\left\{\begin{array}{l}\angle AEB=\angle ADC\\\angle A=\angle A\\AB = AC\end{array}\right.$（$AAS$判定定理：两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等）。
所以$\triangle ABE\cong\triangle ACD$。
2. （2）解：
在$Rt\triangle ABE$中，根据勾股定理$a^{2}+b^{2}=c^{2}$（这里$c = AB$，$a = AE$，$b = BE$），已知$AB = 13$，$AE = 5$，则$BE=\sqrt{AB^{2}-AE^{2}}$。
把$AB = 13$，$AE = 5$代入$BE=\sqrt{AB^{2}-AE^{2}}$，得$BE=\sqrt{13^{2}-5^{2}}=\sqrt{169 - 25}=\sqrt{144}=12$。
因为$\triangle ABE\cong\triangle ACD$，所以$AD = AE = 5$。
又因为$AB = 13$，根据$BD=AB - AD$。
把$AB = 13$，$AD = 5$代入$BD=AB - AD$，得$BD=13 - 5=8$。
综上，（1）已证$\triangle ABE\cong\triangle ACD$；（2）$BD$的长度为$8$。

1. 基本事实:三边分别相等的两个三角形全等(简写成“边边边”或“SSS”).

答案： 三边 SSS

2. 符号语言:
∵在△ABC和△DEF中，
AB=DE，
BC=EF，
AC=DF，
∴△ABC≌△DEF（SSS）

答案： DE BC=EF AC SSS

3. 三角形具有稳定性,四边形不具有稳定性.

答案： 具有 不具有

1. 如图,在$\triangle ABC$中,$AB= AC$,D 为 BC 的中点. 求证:AD 平分$∠BAC.$

答案： 解：
因为$D$为$BC$的中点，所以$BD = CD$。
又因为$AB = AC$，$AD = AD$（公共边）。
根据全等三角形判定定理（$SSS$：三边对应相等的两个三角形全等），可得$\triangle ABD\cong\triangle ACD$。
根据全等三角形的性质：全等三角形对应角相等，所以$\angle BAD=\angle CAD$。
即$AD$平分$\angle BAC$。