《2025年奔跑吧少年九年级数学全一册浙教版》

1. (2024秋·宁波江北期末)某大型游乐园里有一个热门游乐项目,每场可供200人同时游玩,当游玩票价为50元时,该项目每场均为满员状态.根据市场调查显示:当游玩票价在50元到80元之间(含50元和80元)浮动时,每提高2元,每场的人数会减少4.
(1)设票价为x元,请写出每场的人数y关于票价x的函数表达式.
(2)已知该游乐项目某场的营业收入为10800元,根据“营业收入= 票价×每场人数”这一关系,求此时的票价.
(3)当票价为多少时,该场的营业收入最大?最大值为多少?

答案： 1.
(1) $ y = 300 - 2x $.
(2) 60 元.
(3) 当票价为 75 元时, 该场营业收入最大, 最大值为 11 250 元.

2. (2023·宁波鄞州模拟)如图①,有一块边角料ABCDE,其中AB,BC,DE,EA是线段,曲线CD可以看成反比例函数图象的一部分.小宁想利用这块边角料截取一个面积最大的矩形MNQP,其中M,N在AE上(点M在点N的左侧),点P在线段BC上,点Q在曲线CD上.测量发现:∠A= ∠E= 90°,AE= 5,AB= DE= 1,点C到AB,AE所在直线的距离分别为2,4.
(1)小宁尝试建立坐标系来解决该问题,通过思考,他把A,B,C,D,E这5个点先描到平面直角坐标系上,记点A的坐标为(-1,0),点B的坐标为(-1,1).请在图②中补全平面直角坐标系并画出图形ABCDE.
(2)求直线BC,曲线CD的函数表达式(不要求写出自变量的取值范围).
(3)求矩形MNQP的最大面积.

答案：
(1) 根据点A的坐标确定平面直角坐标系，再画出图形
(2) 设直线$BC$的函数表达式为$y=kx+b$。已知点$B(-1,1)$，点$C(1,4)$，将其代入得：
$\begin{cases}-k+b=1\\k+b=4\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=\frac{3}{2}\\b=\frac{5}{2}\end{cases}$，所以直线$BC$的函数表达式为$y=\frac{3}{2}x+\frac{5}{2}$。
曲线$CD$是反比例函数图象的一部分，设其表达式为$y=\frac{m}{x}$，点$C(1,4)$在曲线上，所以$4=\frac{m}{1}$，解得$m=4$，曲线$CD$的函数表达式为$y=\frac{4}{x}$。
(3) 设点$M$的坐标为$(t,0)$，则点$N$的坐标为$(t+s,0)$（$s$为矩形的宽），点$P$的坐标为$(t,\frac{3}{2}t+\frac{5}{2})$，点$Q$的坐标为$(t+s,\frac{4}{t+s})$。因为$MNQP$是矩形，所以$\frac{3}{2}t+\frac{5}{2}=\frac{4}{t+s}$，解得$s=\frac{8}{3t+5}-t$。矩形面积$S=s\cdot(\frac{3}{2}t+\frac{5}{2})=(\frac{8}{3t+5}-t)\cdot(\frac{3t+5}{2})=4-\frac{t(3t+5)}{2}=-\frac{3}{2}t^2-\frac{5}{2}t+4$。对于二次函数$S=-\frac{3}{2}t^2-\frac{5}{2}t+4$，其对称轴为$t=-\frac{b}{2a}=-\frac{-\frac{5}{2}}{2×(-\frac{3}{2})}=-\frac{5}{6}$，当$t=-\frac{5}{6}$时，$S_{max}=-\frac{3}{2}×(-\frac{5}{6})^2-\frac{5}{2}×(-\frac{5}{6})+4=\frac{121}{24}$。
矩形$MNQP$的最大面积为$\frac{121}{24}$。