《2025年奔跑吧少年九年级数学全一册浙教版》

1. (2024 秋·宁波余姚期末)定义:由两条与 x 轴有相同的交点,并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”. 已知抛物线$y_{1}= \frac {1}{2}(x-3)^{2}-2与抛物线y_{2}= ax^{2}+bx+c(a＞0)$组成一个如图所示的“月牙线”,则$a:b:c= $$ 1:(-6):5 $.

答案： $ 1:(-6):5 $

2. (2024 秋·嘉兴期末)我们规定:在平面直角坐标系中,若一个点的横坐标与纵坐标互为相反数,则这个点叫做“M 点”. 如$P(2,-2)$就是“M 点”.
(1)任意写一个二次函数,使它的图象上存在“M 点”.
(2)已知二次函数$y= x^{2}-mx-3.$
①求证:该函数图象上一定存在两个“M 点”；
②若这两个“M 点”的横坐标分别是$x_{1},x_{2}$,且$x_{1}＜1＜x_{2}$,求 m 的取值范围.

答案：

(1) $y=x^2$（答案不唯一）

(2)①证明：因为“M点”的横坐标与纵坐标互为相反数，所以设“M点”坐标为$(a,-a)$。将其代入二次函数$y=x^2 - mx - 3$，可得$-a = a^2 - ma - 3$，整理得$a^2 + (1 - m)a - 3 = 0$。

判别式$\Delta = (1 - m)^2 - 4×1×(-3) = (1 - m)^2 + 12$。因为$(1 - m)^2 \geq 0$，所以$\Delta = (1 - m)^2 + 12 ＞ 0$，方程有两个不相等的实数根，即该函数图象上一定存在两个“M点”。

②解：设$f(a) = a^2 + (1 - m)a - 3$，由①知$x_1, x_2$是方程$f(a) = 0$的两个根。因为$x_1 ＜ 1 ＜ x_2$，抛物线开口向上，所以$f(1) ＜ 0$。

即$1^2 + (1 - m)×1 - 3 ＜ 0$，$1 + 1 - m - 3 ＜ 0$，$-m - 1 ＜ 0$，解得$m ＞ -1$。

故$m$的取值范围是$m ＞ -1$。

3. (2024 秋·台州温岭期末)定义:对于点$P(m,p)与抛物线y= ax^{2}+bx+c上一点Q(m,q)$,若$|p-q|≤1$,则称点$P(m,p)为抛物线y= ax^{2}+bx+c$的一个“纵邻点”. 例如:对于点$(2,3.5)和抛物线y= x^{2}上的点(2,4)满足|3.5-4|≤1$,则点$(2,3.5)是抛物线y= x^{2}$的一个“纵邻点”.
(1)试判断$(1,3)是否为抛物线y= 2x^{2}-1$的“纵邻点”,并说明理由.
(2)若$E(e,6),F(f,6)都是抛物线y= 2x^{2}-1$的“纵邻点”,求$e-f$的最大值.
(3)若点 A 的坐标为$(n,h)$,点 B 的坐标为$(n+1,h)$,线段 AB 上的所有点都是抛物线$y= (x-2)^{2}+1$的“纵邻点”,求 h 的最小值和最大值,以及相应的 n 的值.

答案：
(1) $ (1,3) $不是抛物线 $ y = 2x^{2} - 1 $的“纵邻点”，
(2) $ 4 $.
(3) $ h $的最小值为 $ \frac{1}{4} $，此时 $ n = \frac{3}{2} $； $ h $的最大值为 $ \frac{9}{4} $，此时 $ n = \frac{1}{2} $或 $ \frac{5}{2} $.