《2025年奔跑吧少年九年级数学全一册浙教版》

1. (2024 秋·宁波余姚期末)如图,在$\triangle ABC$中,$∠B= 60^{\circ },AB= 2,BC= 3$,以点A 为旋转中心,将$\triangle ABC$按逆时针方向旋转,得到$\triangle ADE$,点 D 恰好落在边 BC 上,DE 与 AC 相交于点 F,则 DF 的长为 (C)

A.$\frac {1}{2}$
B.$\frac {1}{3}$
C.$\frac {2}{3}$
D.$\frac {3}{4}$

答案： C

2. (2024 秋·金华永康期末)如图,在$Rt\triangle ABC$中,$∠BAC= 90^{\circ }$,将$\triangle ABC$绕点 C旋转得到$\triangle A'B'C$,点 A 的对应点$A'恰好为\triangle ABC$的重心,连结$AA'$并延长,交 BC 于点 D,$A'B'$与 BC 相交于点 E,则$DE:EC$的值为____$\frac{1}{6}$.

答案： $\frac{1}{6}$

3. (2024·宁波鄞州期末)如图,在$\triangle ABC$中,$∠BAC= 90^{\circ },AB= 8,AC= 6$,过点 C作 BC 的垂线 CD,点 P 在线段 BC 上运动,点 Q 在射线 CD 上运动,始终满足$∠BAP= ∠CAQ$,连结 PQ.当$\triangle PCQ与\triangle ABC$相似时,线段 BP 的长为____5 或 6.4.

答案： 5 或 6.4

4. 如图,在平面直角坐标系中,点 A 的坐标为$(3,4)$,点 B,C 分别为 x 轴正半轴和 y 轴正半轴上的动点,连结 AB,BC,作射线 AC 交 x 轴于点 D,已知$∠BAC= 90^{\circ }.$
(1)求$\frac {AC}{AB}$的值.
(2)是否存在$\triangle ADB与\triangle OBC$相似的情况？若存在,请求出点 C 的坐标;若不存在,请说明理由.

答案：
(1) $\frac{3}{4}$.
(2) 存在, 点 $C(0,\frac{5}{2})$.