《2025年万唯中考大小卷八年级数学下册人教版安徽专版》

六、(本题满分12分)
21. (全国新考法·项目式学习——课题学习)根据以下素材,探究并完成任务.
| |探究三角形三边关系|
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|素材1|直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方,即直角三角形两条较小边的平方和等于最大边的平方.|
|素材2|某兴趣小组对锐角三角形的三边数量关系展开探究.
如图①,在锐角$\triangle ABC$中,$BC = a,AC = b,AB = c$,求证:$a^2 + b^2＞c^2$.下面是小光的证明过程:
证明:如图②,过点$A$作$AD\perp BC$于点$D$,则$BD = BC - CD = a - CD$,
在$\triangle ABD$中,$AD^2 = AB^2 - BD^2$,
在$\triangle ACD$中,$AD^2 = AC^2 - CD^2$,
$\therefore AB^2 - BD^2 = AC^2 - CD^2$,即$c^2 - (a - CD)^2 = b^2 - CD^2$,
...|

|解决问题|
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|任务1|请你续写小光的证明过程;|
|任务2|如图③,在钝角$\triangle ABC$中,$BC = a,AC = b,AB = c$,试推断$a^2 + b^2$与$c^2$的关系;|
|任务3|(1)三边长分别为8,10,13的三角形是______(填“直角三角形”“锐角三角形”或“钝角三角形”);
(2)已知锐角三角形的两边长分别为4和6,则第三条边长$x$的取值范围是______.|

答案：
解：任务 1：$\because a^{2}+b^{2}-c^{2}=2a\cdot CD$，
$\because a\gt0$，$CD\gt0$，
$\therefore a^{2}+b^{2}-c^{2}\gt0$，
$\therefore a^{2}+b^{2}\gt c^{2}$； ……………………… (3分)
任务 2：如解图，过点$A$作$AD\perp BC$交$BC$的延长线于点$D$，
$\because BC = a$，$CA = b$，$AB = c$，
$\therefore BD = BC + CD = a + CD$，
在$Rt\triangle ABD$中，$AD^{2}=AB^{2}-BD^{2}$，
在$Rt\triangle ACD$中，$AD^{2}=AC^{2}-CD^{2}$，
$\therefore AB^{2}-BD^{2}=AC^{2}-CD^{2}$，即$c^{2}-(a + CD)^{2}=b^{2}-CD^{2}$，
$\therefore a^{2}+b^{2}-c^{2}=-2a\cdot CD$，
$\because a\gt0$，$CD\gt0$，$\therefore a^{2}+b^{2}-c^{2}\lt0$，
$\therefore a^{2}+b^{2}\lt c^{2}$； ……………………… (8分)

任务 3：
(1) 钝角三角形； ……………… (10分)
(2) $2\sqrt{5}\lt x\lt2\sqrt{13}$. ………………… (12分)