《2025年万唯中考大小卷八年级数学下册人教版安徽专版》

七、（本题满分12分）
22. （全国新考法·解题方法型阅读理解题）阅读下列材料，解决问题.

|倍长法| |
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| |倍长法是一种延长某一条线段，使其长为原来的两倍的辅助线作法. 最常见的是在遇到三角形的中线时，延长中线构造出全等三角形来解决问题，也就是“倍长中线法”. 在遇到三角形中线时，除了延长中线构造全等三角形之外，我们也可以延长三角形的一条边，构造中位线来解决问题. 看一个例子：|
| |如图①，在四边形$ABCD$中，$AD// BC$，$AC\perp AD$，$E$是$BD$的中点，连接$AE$，若$AD = 6$，$AC = 8$，$BC = 12$，求$AE$的长度.|
|解|如图②，延长$DA$至点$F$，使得$AF = AD$，连接$BF$，
$\therefore DF = AD + AF = 2AD = 12$，
$\therefore DF = BC = 12$.
$\because AD// BC$，即$DF// BC$，
$\therefore$四边形$FBCD$是平行四边形，
$\therefore BF = CD$.|

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
（1）请补全材料中的解题过程；
（2）如图③，$\triangle ABC$与$\triangle BEF$均为等腰直角三角形，其中$\angle ABC=\angle BEF = 90^{\circ}$，$AB = BC$，$EF = BE$，连接$AF$，$CF$，$M$为$AF$的中点，连接$ME$，求证：$ME=\frac{1}{2}CF$.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

答案：

(1)解:$\because E$为$BD$的中点,$A$为$DF$的中点,
$\therefore AE$为$\triangle DFB$的中位线,
$\therefore AE=\frac{1}{2}BF=\frac{1}{2}CD$.
$\because AC\perp AD,\therefore CD=\sqrt{AC^{2}+AD^{2}}=\sqrt{8^{2}+6^{2}} = 10$,
$\therefore AE=\frac{1}{2}CD = 5$; ………………… (5分)
(2)证明:如解图,延长$FE$至点$N$，使得$EN = EF$，连接$BN,AN,\therefore E$为$FN$的中点.

$\because M$为$AF$的中点,$\therefore ME$是$\triangle AFN$的中位线,
$\therefore ME=\frac{1}{2}AN$.
$\because EF = EN,\angle BEF = 90^{\circ},\therefore BE$垂直平分$FN$，
$\therefore BF = BN,\therefore\angle BNF=\angle BFN$.
$\because\triangle BEF$为等腰直角三角形,$\therefore\angle BFN = 45^{\circ}$，
$\therefore\angle BNF=\angle BFN = 45^{\circ}$，
$\therefore\angle FBN = 90^{\circ}$，即$\angle FBA+\angle ABN = 90^{\circ}$.
$\because\angle FBA+\angle CBF = 90^{\circ},\therefore\angle CBF=\angle ABN$.
在$\triangle BCF$和$\triangle BAN$中,$\begin{cases}BF = BN,\\\angle CBF=\angle ABN,\\BC = BA,\end{cases}$
$\therefore\triangle BCF\cong\triangle BAN(SAS)$，
$\therefore CF = AN,\therefore ME=\frac{1}{2}AN=\frac{1}{2}CF$. ……… (12分)

八、（本题满分14分）
23. （全国新考法·综合与实践——操作探究）综合实践课上，老师带领同学们以“正方形的折叠”为主题开展教学活动.
操作一：对折边长为4的正方形纸片$ABCD$，使$AD$与$BC$重合，得到折痕$EF$，把纸片展平；
操作二：在$AD$上选一点$P$，沿$BP$所在直线折叠，使点$A$落在正方形内部点$M$处，把纸片展平.
【操作判断】
（1）如图①，当点$M$落在$EF$上时，写出图中一个大小为$30^{\circ}$的角：______；
【拓展应用】
（2）如图②，在（1）的条件下，延长$PM$交$CD$于点$N$.
①求证：$MN = CN$；
②直接写出$\triangle PDN$的面积；
【迁移探究】
（3）小华在以上操作的基础上继续探究，连接$BF$，当点$M$落在$BF$上时（如图③），过点$P$作$PI\perp BC$于点$I$，求$BI$的长.
　　　　　　　　　　　　　　　　

答案：

(1)解:$\angle BME$(答案不唯一); ………… (3分)
(2)①证明:如解图①,连接$BN$,
$\because\angle BMP=\angle BAP=\angle BCN = 90^{\circ}$,
$\therefore\angle BMN = 90^{\circ}$,
由折叠可知$BM = AB$,
又$\because BC = AB,\therefore BM = BC$,
在$Rt\triangle CBN$和$Rt\triangle MBN$中,$\begin{cases}BC = BM,\\BN = BN,\end{cases}$
$\therefore\triangle CBN\cong\triangle MBN(HL),\therefore MN = CN$; … (6分)
②解:$\frac{32\sqrt{3}}{3}-16$; ………………… (9分)
(3)解:如解图②,连接$PF$,
$\because$四边形$ABCD$是正方形,$PI\perp BC$,
$\therefore$四边形$ABIP$是矩形,
$\therefore BI = AP$.
在$Rt\triangle BCF$中,$BF=\sqrt{4^{2}+2^{2}} = 2\sqrt{5}$,
设$BI = x$,则$AP = BI = x,PD = 4 - x$,
由折叠得$BM = AB = 4,PM = AP = x,\angle BMP=\angle A = 90^{\circ}$,
$\therefore MF = 2\sqrt{5}-4,\angle PMF = 90^{\circ}$,
在$Rt\triangle FMP$中,$PF^{2}=MP^{2}+MF^{2}=x^{2}+(2\sqrt{5}-4)^{2}$,
在$Rt\triangle PDF$中,$PF^{2}=PD^{2}+DF^{2}=(4 - x)^{2}+2^{2}$,
$\therefore x^{2}+(2\sqrt{5}-4)^{2}=(4 - x)^{2}+2^{2}$,
解得$x = 2\sqrt{5}-2$,
$\therefore BI = 2\sqrt{5}-2$. ………………… (14分)