《2025年万唯中考大小卷八年级数学下册人教版安徽专版》

16. (8分)(安徽特色题型·网格作图题)在如图所示的网格中，每个小正方形的边长都为1，点A，B均在格点上.
(1)以AB为边，作一个△ABC，使点C在格点上，且BC = 2$\sqrt{5}$，AC = 5；
(2)试判定△ABC的形状，并计算其面积.

答案：
解：
(1)如解图所示，$\triangle ABC$即为所求作；……(3分)
(2)$\because AB^{2}=2^{2}+1^{2}=5$，$BC^{2}=20$，$AC^{2}=25$，$AB^{2}+BC^{2}=AC^{2}$，$\therefore \triangle ABC$是直角三角形，$\angle ABC = 90^{\circ}$，$\therefore S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot BC=\frac{1}{2}\times\sqrt{5}\times2\sqrt{5}=5$。……(8分)

17. (9分)(全国新考法·解题策略开放)勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，请你从以下方法中，任选一个验证：

答案： 解：选择方法一：……(1分)证明：由题意可得$\angle BDC=\angle ABC = 90^{\circ}$，$\therefore \angle DBC+\angle BCD=\angle BAC+\angle BCD = 90^{\circ}$，$\therefore \angle DBC=\angle BAC$，即$\angle FBE=\angle BAC$，$\because AC = BE = c$，$\angle ABC=\angle BFE = 90^{\circ}$，$\therefore \triangle ABC\cong\triangle BFE(AAS)$，$\therefore AB = BF$，$BC = FE$，$\because AB = a$，$BC = b$，$\therefore AB = BF = a$，$BC = FE = b$，$\because S_{四边形ABCE}=S_{\triangle ABC}+S_{\triangle ACE}=\frac{1}{2}AC\cdot BD+\frac{1}{2}AC\cdot DE=\frac{1}{2}AC\cdot(BD + DE)=\frac{1}{2}AC\cdot BE=\frac{1}{2}c^{2}$，$S_{四边形ABCE}=S_{\triangle ABE}+S_{\triangle BCE}=\frac{1}{2}AB\cdot BF+\frac{1}{2}BC\cdot FE=\frac{1}{2}a^{2}+\frac{1}{2}b^{2}$，$\therefore \frac{1}{2}c^{2}=\frac{1}{2}a^{2}+\frac{1}{2}b^{2}$，$\therefore a^{2}+b^{2}=c^{2}$。(答案不唯一)……(9分)